We show that a dihedral congruence prime for a normalised Hecke eigenform f in $$S_k(\Gamma _0(D),\chi _D)$$ , where $$\chi _D$$ is a real quadratic character, appears in the denominator of the Bloch–Kato conjectural formula for the value at 1 of the twisted adjoint L-function of f. We then use a formula of Zagier to prove that it appears in the denominator of a suitably normalised $$L(1,{\mathrm {ad}}^0(g)\otimes \chi _D)$$ for some $$g\in S_k(\Gamma _0(D),\chi _D)$$ .

中文翻译：

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Twisted adjoint L-values, dihedral congruence primes 和 Bloch-Kato 猜想

我们证明了 $$S_k(\Gamma _0(D),\chi _D)$$ 中归一化 Hecke 特征形式 f 的二面同余素数，其中 $$\chi _D$$ 是一个真正的二次字符，出现在分母中f 的扭曲伴随 L 函数在 1 处的值的 Bloch-Kato 猜想公式。然后我们使用 Zagier 的公式来证明它出现在适当归一化的 $$L(1,{\mathrm {ad}}^0(g)\otimes \chi _D)$$ 的分母中\in S_k(\Gamma _0(D),\chi _D)$$ 。