A comparison among different constructions of the quaternionic $4$-form $\Phi_{Sp(2)Sp(1)}$ and of the Cayley calibration $\Phi_{Spin(7)}$ shows that one can start for them from the same collections of "Kahler 2-forms", entering in dimension 8 both in quaternion Kahler and in $Spin(7)$ geometry. This comparison relates with the notions of even Clifford structure and of Clifford system. Going to dimension $16$, similar constructions allow to write explicit formulas for the canonical $4$-forms $\Phi_{Spin(8)}$ and $\Phi_{Spin(7)U(1)}$, associated with Clifford systems related with the subgroups $Spin(8)$ and $Spin(7)U(1)$ of $SO(16)$. We characterize the calibrated $4$-planes of the $4$-forms $\Phi_{Spin(8)}$ and $\Phi_{Spin(7)U(1)}$, extending in two different ways the notion of Cayley $4$-plane to dimension $16$.

中文翻译：

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Clifford 系统、Clifford 结构及其典型微分形式

四元数 $4$-形式 $\Phi_{Sp(2)Sp(1)}$ 和 Cayley 校准 $\Phi_{Spin(7)}$ 的不同结构之间的比较表明，人们可以从“Kahler 2-形式”的相同集合，在四元数 Kahler 和 $Spin(7)$ 几何中都进入第 8 维。这种比较涉及偶数 Clifford 结构和 Clifford 系统的概念。转到维度 $16$，类似的构造允许为与 Clifford 系统相关的规范 $4$-形式 $\Phi_{Spin(8)}$ 和 $\Phi_{Spin(7)U(1)}$ 编写显式公式与 $SO(16)$ 的子群 $Spin(8)$ 和 $Spin(7)U(1)$ 相关。我们刻画了 $4$-形式 $\Phi_{Spin(8)}$ 和 $\Phi_{Spin(7)U(1)}$ 的校准 $4$-平面，以两种不同的方式扩展了 Cayley $4 的概念$-plane 尺寸为 $16$。