We give a presentation of the $n$-dimensional oriented cobordism category $\text{Cob}_n$ with generators corresponding to diffeomorphisms and surgeries along framed spheres, and a complete set of relations. Hence, given a functor $F$ from the category of smooth oriented manifolds and diffeomorphisms to an arbitrary category $C$, and morphisms induced by surgeries along framed spheres, we obtain a necessary and sufficient set of relations these have to satisfy to extend to a functor from $\text{Cob}_n$ to $C$. If $C$ is symmetric and monoidal, then we also characterize when the extension is a TQFT. This framework is well-suited to defining natural cobordism maps in Heegaard Floer homology. It also allows us to give a short proof of the classical correspondence between (1+1)-dimensional TQFTs and commutative Frobenius algebras. Finally, we use it to classify (2+1)-dimensional TQFTs in terms of J-algebras, a new algebraic structure that consists of a split graded involutive nearly Frobenius algebra endowed with a certain mapping class group representation. This solves a long-standing open problem. As a corollary, we obtain a structure theorem for (2+1)-dimensional TQFTs that assign a vector space of the same dimension to every connected surface. We also note that there are $2^{2^\omega}$ nonequivalent lax monoidal TQFTs over $\mathbb{C}$ that do not extend to (1+1+1)-dimensional ones.

中文翻译：

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通过手术定义和分类 TQFT

我们给出了 $n$ 维定向协同范畴 $\text{Cob}_n$ 的表示，其生成器对应于沿框架球体的微分同胚和手术，以及一组完整的关系。因此，给定一个从光滑定向流形和微分同胚范畴到任意范畴 $C$ 的函子 $F$，以及由沿框架球体的手术引起的态射，我们获得了一组必要且充分的关系，这些关系必须满足扩展到从 $\text{Cob}_n$ 到 $C$ 的函子。如果 $C$ 是对称和幺半群的，那么我们也刻画了扩展是 TQFT 时的特征。该框架非常适合在 Heegaard Floer 同源中定义自然坐标图。它还允许我们给出 (1+1) 维 TQFT 和可交换 Frobenius 代数之间的经典对应关系的简短证明。最后，我们使用它根据 J 代数对 (2+1) 维 TQFT 进行分类，J 代数是一种新的代数结构，由具有特定映射类组表示的分裂分级对合近 Frobenius 代数组成。这解决了一个长期存在的开放性问题。作为推论，我们获得了 (2+1) 维 TQFT 的结构定理，该定理为每个连接的表面分配了相同维度的向量空间。我们还注意到，在 $\mathbb{C}$ 上存在 $2^{2^\omega}$ 非等价松散幺半群 TQFT，它们不扩展到 (1+1+1) 维。我们获得了 (2+1) 维 TQFT 的结构定理，该定理为每个连接的表面分配了相同维度的向量空间。我们还注意到，在 $\mathbb{C}$ 上存在 $2^{2^\omega}$ 非等价松散幺半群 TQFT，它们不扩展到 (1+1+1) 维。我们获得了 (2+1) 维 TQFT 的结构定理，该定理为每个连接的表面分配了相同维度的向量空间。我们还注意到，在 $\mathbb{C}$ 上存在 $2^{2^\omega}$ 非等价松散幺半群 TQFT，它们不扩展到 (1+1+1) 维。