We study universality properties of the Epstein zeta function $E_n(L,s)$ for lattices $L$ of large dimension $n$ and suitable regions of complex numbers $s$. Our main result is that, as $n\to\infty$, $E_n(L,s)$ is universal in the right half of the critical strip as $L$ varies over all $n$-dimensional lattices $L$. The proof uses an approximation result for Dirichlet polynomials together with a recent result on the distribution of lengths of lattice vectors in a random lattice of large dimension and a strong uniform estimate for the error term in the generalized circle problem. Using the same approach we also prove that, as $n\to\infty$, $E_n(L_1,s)-E_n(L_2,s)$ is universal in the full half-plane to the right of the critical line as $(L_1,L_2)$ varies over all pairs of $n$-dimensional lattices. Finally, we prove a more classical universality result for $E_n(L,s)$ in the $s$-variable valid for almost all lattices $L$ of dimension $n$. As part of the proof we obtain a strong bound of $E_n(L,s)$ on the critical line that is subconvex for $n\geq 5$ and almost all $n$-dimensional lattices $L$.

中文翻译：

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关于 Epstein zeta 函数的普遍性

我们研究了 Epstein zeta 函数 $E_n(L,s)$ 的普遍性属性，用于大维数 $n$ 的格子 $L$ 和复数 $s$ 的合适区域。我们的主要结果是，由于 $n\to\infty$，$E_n(L,s)$ 在临界带的右半部分是通用的，因为 $L$ 在所有 $n$ 维晶格 $L$ 中变化。该证明使用了狄利克雷多项式的近似结果以及大维随机晶格中晶格向量长度分布的最新结果，以及广义圆问题中误差项的强均匀估计。使用相同的方法我们还证明，作为 $n\to\infty$，$E_n(L_1,s)-E_n(L_2,s)$ 在临界线右侧的整个半平面中是通用的，如 $ (L_1,L_2)$ 在所有 $n$ 维格子对中变化。最后，我们证明了在 $s$ 变量中 $E_n(L,s)$ 的一个更经典的普遍性结果对几乎所有维度为 $n$ 的格子 $L$ 都有效。作为证明的一部分，我们在临界线上获得了 $E_n(L,s)$ 的强边界，该临界线上是 $n\geq 5$ 和几乎所有 $n$ 维晶格 $L$ 的亚凸面。