Consider the Diophantine equation $y^n=x+x(x+1)+\cdots +x(x+1)\cdots (x+k)$, where x, y, n, and k are integers. In 2016, a research article, entitled – ’power values of sums of products of consecutive integers’, primarily proved the inequality $n=$ 19,736 to obtain all solutions $(x,y,n)$ of the equation for the fixed positive integers $k\le 10$. In this paper, we improve the bound as $n\le$ 10,000 for the same case $k\le 10$, and for any fixed general positive integer k, we give an upper bound depending only on k for n.

中文翻译：

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关于连续整数乘积之和的完美幂和三元指数丢番图方程

考虑丢番图方程 ${是}^n=X+X(X+1)+\cdots +X(X+1)\cdots (X+克)$，其中x、y、n和k是整数。2016年，一篇题为“连续整数乘积之和的幂值”的研究文章，初步证明了不等式$n=$ 19,736 获得所有解 $(X,是,n)$ 固定正整数方程的 $克\le 10$. 在本文中，我们改进界限为$n\le$ 10,000 同案 $克\le 10$和用于任何固定一般正整数ķ，我们举一个上限只取决于ķ为Ñ。