We prove that four different ways of defining Cartesian fibrations and the Cartesian model structure are all Quillen equivalent:

1. 1.

   On marked simplicial sets (due to Lurie [31]),

2. 2.

   On bisimplicial spaces (due to deBrito [12]),

3. 3.

   On bisimplicial sets,

4. 4.

   On marked simplicial spaces.

The main way to prove these equivalences is by using the Quillen equivalences between quasi-categories and complete Segal spaces as defined by Joyal–Tierney and the straightening construction due to Lurie.

中文翻译：

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准范畴 vs. Segal 空间：笛卡尔版

我们证明定义笛卡尔纤维和笛卡尔模型结构的四种不同方式都是 Quillen 等价的：

1. 1.

   在标记单纯集上（由于 Lurie [31]），

2. 2.

   在双简空间上（由于 deBrito [12]），

3. 3.

   在双简集上，

4. 4.

   在标记的单纯空间上。

证明这些等价的主要方法是使用 Joyal-Tierney 定义的准范畴和完全 Segal 空间之间的 Quillen 等价以及 Lurie 的矫直构造。