We consider the most general Gaussian quantum Markov semigroup on a one-mode Fock space, discuss its construction from the generalized GKSL representation of the generator. We prove the known explicit formula on Weyl operators, characterize irreducibility and its equivalence to a Hörmander type condition on commutators and establish necessary and sufficient conditions for existence and uniqueness of normal invariant states. We illustrate these results by applications to the open quantum oscillator and the quantum Fokker-Planck model.

中文翻译：

---

单模福克空间上的高斯量子马尔可夫半群：不可约性和法向不变态

我们考虑单模 Fock 空间上最一般的高斯量子马尔可夫半群，从生成器的广义 GKSL 表示讨论它的构造。我们证明了已知的 Weyl 算子的显式公式，描述了不可约性及其对交换子的 Hörmander 类型条件的等价性，并为正常不变量状态的存在和唯一性建立了充要条件。我们通过对开放量子振荡器和量子 Fokker-Planck 模型的应用来说明这些结果。