We consider the Cauchy problem for the inhomogeneous nonlinear Schrödinger (INLS) equation $$ iu_t +\Delta u=\lvert x\rvert^{-b} f(u),\quad u(0)=u_0 \in H^s(\mathbb{R}^n), $$ where $00$. We prove that the Cauchy problem of the INLS equation is globally well-posed in $H^s(\mathbb{R}^n)$ if the initial data is sufficiently small and $\sigma_0 <\sigma <\sigma_s$, where $\sigma_0 =\frac{4-2b}{n}$ and $\sigma_s =\frac{4-2b}{n-2s}$ if $s<\frac{n}{2}$, $\sigma_s =\infty$ if $s\ge \frac{n}{2}$. Our global well-posedness result improves the one of Guzmán [Nonlinear Anal. Real World Appl. 37 (2017), 249–286] by extending the validity of $s$ and $b$. In addition, we also have the small data scattering result.

中文翻译：

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$H^s(\mathbb{R}^n)$中非齐次非线性薛定谔方程的小数据全局适定性和散射

我们考虑非齐次非线性薛定谔(INLS)方程的柯西问题$$ iu_t +\Delta u=\lvert x\rvert^{-b} f(u),\quad u(0)=u_0 \in H^s (\mathbb{R}^n), $$ where $00 美元。我们证明了 INLS 方程的柯西问题在 $H^s(\mathbb{R}^n)$ 中是全局适定的，如果初始数据足够小且 $\sigma_0 <\sigma <\sigma_s$，其中$\sigma_0 =\frac{4-2b}{n}$ 和 $\sigma_s =\frac{4-2b}{n-2s}$ 如果 $s<\frac{n}{2}$, $\sigma_s =\infty$ 如果 $s\ge \frac{n}{2}$。我们的全局适定结果改进了 Guzmán [Nonlinear Anal. 真实世界应用 37 (2017), 249–286] 通过延长 $s$ 和 $b$ 的有效性。此外，我们还有小数据分散的结果。