We study cocycles of countable groups $\Gamma$ of Borel automorphisms of a standard Borel space $(X, \mathcal{B})$ taking values in a locally compact second countable group $G$. We prove that for a hyperfinite group $\Gamma$ the subgroup of coboundaries is dense in the group of cocycles. We describe all Borel cocycles of the $2$-odometer and show that any such cocycle is cohomologous to a cocycle with values in a countable dense subgroup $H$ of $G$. We also provide a Borel version of Gottschalk–Hedlund theorem.

中文翻译：

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超有限 Borel 作用的上同调

我们研究了标准 Borel 空间 $(X, \mathcal{B})$ 的 Borel 自同构的可数群 $\Gamma$ 的余循环，取值在局部紧致的第二可数群 $G$ 中。我们证明了对于超有限群$\Gamma$，协界子群在协环群中是稠密的。我们描述了 $2$-odometer 的所有 Borel cocycles，并表明任何这样的 cocycle 都与具有 $G$ 的可数稠密子群 $H$ 中的值的 cocycle 同源。我们还提供了 Gottschalk-Hedlund 定理的 Borel 版本。