<p style='text-indent:20px;'>Over the past few years, the codes <inline-formula><tex-math>\begin{document}$ {\mathcal{C}}_{n-1}(n,q) $\end{document}</tex-math></inline-formula> arising from the incidence of points and hyperplanes in the projective space <inline-formula><tex-math>\begin{document}$ {\rm{PG}}(n,q) $\end{document}</tex-math></inline-formula> attracted a lot of attention. In particular, small weight codewords of <inline-formula><tex-math>\begin{document}$ {\mathcal{C}}_{n-1}(n,q) $\end{document}</tex-math></inline-formula> are a topic of investigation. The main result of this work states that, if <inline-formula><tex-math>\begin{document}$ q $\end{document}</tex-math></inline-formula> is large enough and not prime, a codeword having weight smaller than roughly <inline-formula><tex-math>\begin{document}$ \frac{1}{2^{n-2}}q^{n-1}\sqrt{q} $\end{document}</tex-math></inline-formula> can be written as a linear combination of a few hyperplanes. Consequently, we use this result to provide a graph-theoretical sufficient condition for these codewords of small weight to be minimal.</p>

中文翻译：

---

投影空间中点和超平面的出现产生的最小码字

<p style='text-indent:20px;'>这几年的代码<inline-formula><tex-math>\begin{document}$ {\mathcal{C}}_{n-1} (n,q) $\end{document}</tex-math></inline-formula> 由投影空间中的点和超平面的发生引起 <inline-formula><tex-math>\begin{document} $ {\rm{PG}}(n,q) $\end{document}</tex-math></inline-formula> 引起了很多关注。特别是 <inline-formula><tex-math>\begin{document}$ {\mathcal{C}}_{n-1}(n,q) $\end{document}</tex 的小权重码字-math></inline-formula> 是一个调查主题。这项工作的主要结果表明，如果 <inline-formula><tex-math>\begin{document}$ q $\end{document}</tex-math></inline-formula> 足够大并且没有鼎盛时期，权重小于 <inline-formula><tex-math>\begin{document}$ \frac{1}{2^{n-2}}q^{n-1}\sqrt{q} $ 的码字\end{document}</tex-math></inline-formula> 可以写成几个超平面的线性组合。因此，我们利用这个结果为这些小权重的码字最小化提供了图论充分条件。</p>