<p style='text-indent:20px;'>Recently, the construction of new MDS Euclidean self-dual codes has been widely investigated. In this paper, for square <inline-formula><tex-math>\begin{document}$ q $\end{document}</tex-math></inline-formula>, we utilize generalized Reed-Solomon (GRS) codes and their extended codes to provide four generic families of <inline-formula><tex-math>\begin{document}$ q $\end{document}</tex-math></inline-formula>-ary MDS Euclidean self-dual codes of lengths in the form <inline-formula><tex-math>\begin{document}$ s\frac{q-1}{a}+t\frac{q-1}{b} $\end{document}</tex-math></inline-formula>, where <inline-formula><tex-math>\begin{document}$ s $\end{document}</tex-math></inline-formula> and <inline-formula><tex-math>\begin{document}$ t $\end{document}</tex-math></inline-formula> range in some interval and <inline-formula><tex-math>\begin{document}$ a, b \,|\, (q -1) $\end{document}</tex-math></inline-formula>. In particular, for large square <inline-formula><tex-math>\begin{document}$ q $\end{document}</tex-math></inline-formula>, our constructions take up a proportion of generally more than 34% in all the possible lengths of <inline-formula><tex-math>\begin{document}$ q $\end{document}</tex-math></inline-formula>-ary MDS Euclidean self-dual codes, which is larger than the previous results. Moreover, two new families of MDS Euclidean self-orthogonal codes and two new families of MDS Euclidean almost self-dual codes are given similarly.</p>

中文翻译：

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基于 GRS 码的 MDS 欧几里得自对偶码的一般构造

<p style='text-indent:20px;'>最近，新的MDS欧式自对偶码的构造被广泛研究。在本文中，对于正方形 <inline-formula><tex-math>\begin{document}$ q $\end{document}</tex-math></inline-formula>，我们利用广义 Reed-Solomon (GRS ) 代码及其扩展代码以提供 <inline-formula><tex-math>\begin{document}$ q $\end{document}</tex-math></inline-formula>-ary MDS 的四个通用系列<inline-formula><tex-math>\begin{document}$ s\frac{q-1}{a}+t\frac{q-1}{b} $ 形式的欧几里得自对偶码\end{document}</tex-math></inline-formula>，其中 <inline-formula><tex-math>\begin{document}$ s $\end{document}</tex-math></内联公式> 和 <内联公式>< tex-math>\begin{document}$ t $\end{document}</tex-math></inline-formula> 范围在某个区间和 <inline-formula><tex-math>\begin{document}$ a, b \,|\, (q -1) $\end{document}</tex-math></inline-formula>。特别是对于大正方形 <inline-formula><tex-math>\begin{document}$ q $\end{document}</tex-math></inline-formula>，我们的构造一般占<inline-formula><tex-math>\begin{document}$ q $\end{document}</tex-math></inline-formula>-ary MDS Euclidean self 的所有可能长度超过 34% -对偶码，比前面的结果大。此外，类似地给出了两个新的MDS欧几里得自正交码族和两个新的MDS欧几里得几乎自对偶码族。</p> \begin{document}$ t $\end{document}</tex-math></inline-formula> 范围在某个区间和 <inline-formula><tex-math>\begin{document}$ a, b \ ,|\, (q -1) $\end{document}</tex-math></inline-formula>。特别是对于大正方形 <inline-formula><tex-math>\begin{document}$ q $\end{document}</tex-math></inline-formula>，我们的构造一般占<inline-formula><tex-math>\begin{document}$ q $\end{document}</tex-math></inline-formula>-ary MDS Euclidean self 的所有可能长度超过 34% -对偶码，比前面的结果大。此外，类似地给出了两个新的MDS欧几里得自正交码族和两个新的MDS欧几里得几乎自对偶码族。</p> \begin{document}$ t $\end{document}</tex-math></inline-formula> 范围在某个区间和 <inline-formula><tex-math>\begin{document}$ a, b \ ,|\, (q -1) $\end{document}</tex-math></inline-formula>。特别是对于大正方形 <inline-formula><tex-math>\begin{document}$ q $\end{document}</tex-math></inline-formula>，我们的构造一般占<inline-formula><tex-math>\begin{document}$ q $\end{document}</tex-math></inline-formula>-ary MDS Euclidean self 的所有可能长度超过 34% -对偶码，比前面的结果大。此外，类似地给出了两个新的MDS欧几里得自正交码族和两个新的MDS欧几里得几乎自对偶码族。</p> /tex-math></inline-formula> 范围在某个区间和 <inline-formula><tex-math>\begin{document}$ a, b \,|\, (q -1) $\end{document }</tex-math></inline-formula>。特别是对于大正方形 <inline-formula><tex-math>\begin{document}$ q $\end{document}</tex-math></inline-formula>，我们的构造一般占<inline-formula><tex-math>\begin{document}$ q $\end{document}</tex-math></inline-formula>-ary MDS Euclidean self 的所有可能长度超过 34% -对偶码，比前面的结果大。此外，类似地给出了两个新的MDS欧几里得自正交码族和两个新的MDS欧几里得几乎自对偶码族。</p> /tex-math></inline-formula> 范围在某个区间和 <inline-formula><tex-math>\begin{document}$ a, b \,|\, (q -1) $\end{document }</tex-math></inline-formula>。特别是对于大正方形 <inline-formula><tex-math>\begin{document}$ q $\end{document}</tex-math></inline-formula>，我们的构造一般占<inline-formula><tex-math>\begin{document}$ q $\end{document}</tex-math></inline-formula>-ary MDS Euclidean self 的所有可能长度超过 34% -对偶码，比前面的结果大。此外，类似地给出了两个新的MDS欧几里得自正交码族和两个新的MDS欧几里得几乎自对偶码族。</p> 内联公式><tex-math>\begin{document}$ a, b \,|\, (q -1) $\end{document}</tex-math></inline-formula>。特别是对于大正方形 <inline-formula><tex-math>\begin{document}$ q $\end{document}</tex-math></inline-formula>，我们的构造一般占<inline-formula><tex-math>\begin{document}$ q $\end{document}</tex-math></inline-formula>-ary MDS Euclidean self 的所有可能长度超过 34% -对偶码，比前面的结果大。此外，类似地给出了两个新的MDS欧几里得自正交码族和两个新的MDS欧几里得几乎自对偶码族。</p> 内联公式><tex-math>\begin{document}$ a, b \,|\, (q -1) $\end{document}</tex-math></inline-formula>。特别是对于大正方形 <inline-formula><tex-math>\begin{document}$ q $\end{document}</tex-math></inline-formula>，我们的构造一般占<inline-formula><tex-math>\begin{document}$ q $\end{document}</tex-math></inline-formula>-ary MDS Euclidean self 的所有可能长度超过 34% -对偶码，比前面的结果大。此外，类似地给出了两个新的MDS欧几里得自正交码族和两个新的MDS欧几里得几乎自对偶码族。</p> 对于大正方形<inline-formula><tex-math>\begin{document}$ q $\end{document}</tex-math></inline-formula>，我们的构造一般占34以上的比例<inline-formula><tex-math>\begin{document}$ q $\end{document}</tex-math></inline-formula>-ary MDS 欧几里得自对偶码的所有可能长度中的 % ，这比之前的结果要大。此外，类似地给出了两个新的MDS欧几里得自正交码族和两个新的MDS欧几里得几乎自对偶码族。</p> 对于大正方形<inline-formula><tex-math>\begin{document}$ q $\end{document}</tex-math></inline-formula>，我们的构造一般占34以上的比例<inline-formula><tex-math>\begin{document}$ q $\end{document}</tex-math></inline-formula>-ary MDS 欧几里得自对偶码的所有可能长度中的 % ，这比之前的结果要大。此外，类似地给出了两个新的MDS欧几里得自正交码族和两个新的MDS欧几里得几乎自对偶码族。</p> \begin{document}$ q $\end{document}</tex-math></inline-formula>-ary MDS欧几里得自对偶码，比前面的结果大。此外，类似地给出了两个新的MDS欧几里得自正交码族和两个新的MDS欧几里得几乎自对偶码族。</p> \begin{document}$ q $\end{document}</tex-math></inline-formula>-ary MDS欧几里得自对偶码，比前面的结果大。此外，类似地给出了两个新的MDS欧几里得自正交码族和两个新的MDS欧几里得几乎自对偶码族。</p>