<p style='text-indent:20px;'>The length function <inline-formula><tex-math>\begin{document}$ \ell_q(r,R) $\end{document}</tex-math></inline-formula> is the smallest length of a <inline-formula><tex-math>\begin{document}$ q $\end{document}</tex-math></inline-formula>-ary linear code with codimension (redundancy) <inline-formula><tex-math>\begin{document}$ r $\end{document}</tex-math></inline-formula> and covering radius <inline-formula><tex-math>\begin{document}$ R $\end{document}</tex-math></inline-formula>. In this work, new upper bounds on <inline-formula><tex-math>\begin{document}$ \ell_q(tR+1,R) $\end{document}</tex-math></inline-formula> are obtained in the following forms:</p><p style='text-indent:20px;'><disp-formula> <label/> <tex-math> \begin{document}$ \begin{equation*} \begin{split} &amp;(a)\; \ell_q(r,R)\le cq^{(r-R)/R}\cdot\sqrt[R]{\ln q},\; R\ge3,\; r = tR+1,\; t\ge1,\\ &amp;\phantom{(a)\; } q\;{\rm{ is \;an\; arbitrary \;prime\; power}},\; c{\rm{ \;is\; independent \;of\; }}q. \end{split} \end{equation*} $\end{document} </tex-math></disp-formula></p><p style='text-indent:20px;'><disp-formula> <label/> <tex-math> \begin{document}$ \begin{equation*} \begin{split} &amp;(b)\; \ell_q(r,R)&lt; 3.43Rq^{(r-R)/R}\cdot\sqrt[R]{\ln q},\; R\ge3,\; r = tR+1,\; t\ge1,\\ &amp;\phantom{(b)\; } q\;{\rm{ is \;an\; arbitrary\; prime \;power}},\; q\;{\rm{ is \;large\; enough}}. \end{split} \end{equation*} $\end{document} </tex-math></disp-formula></p><p style='text-indent:20px;'>In the literature, for <inline-formula><tex-math>\begin{document}$ q = (q')^R $\end{document}</tex-math></inline-formula> with <inline-formula><tex-math>\begin{document}$ q' $\end{document}</tex-math></inline-formula> a prime power, smaller upper bounds are known; however, when <inline-formula><tex-math>\begin{document}$ q $\end{document}</tex-math></inline-formula> is an arbitrary prime power, the bounds of this paper are better than the known ones.</p><p style='text-indent:20px;'>For <inline-formula><tex-math>\begin{document}$ t = 1 $\end{document}</tex-math></inline-formula>, we use a one-to-one correspondence between <inline-formula><tex-math>\begin{document}$ [n,n-(R+1)]_qR $\end{document}</tex-math></inline-formula> codes and <inline-formula><tex-math>\begin{document}$ (R-1) $\end{document}</tex-math></inline-formula>-saturating <inline-formula><tex-math>\begin{document}$ n $\end{document}</tex-math></inline-formula>-sets in the projective space <inline-formula><tex-math>\begin{document}$ \mathrm{PG}(R,q) $\end{document}</tex-math></inline-formula>. A new construction of such saturating sets providing sets of small size is proposed. Then the <inline-formula><tex-math>\begin{document}$ [n,n-(R+1)]_qR $\end{document}</tex-math></inline-formula> codes, obtained by geometrical methods, are taken as the starting ones in the lift-constructions (so-called "<inline-formula><tex-math>\begin{document}$ q^m $\end{document}</tex-math></inline-formula>-concatenating constructions") for covering codes to obtain infinite families of codes with growing codimension <inline-formula><tex-math>\begin{document}$ r = tR+1 $\end{document}</tex-math></inline-formula>, <inline-formula><tex-math>\begin{document}$ t\ge1 $\end{document}</tex-math></inline-formula>.</p>

中文翻译：

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覆盖半径 $ R $ 和编码维度 $ tR+1 $ 的覆盖代码的长度函数上限

<p style='text-indent:20px;'>长度函数<inline-formula><tex-math>\begin{document}$ \ell_q(r,R) $\end{document}</tex-math ></inline-formula> 是 <inline-formula><tex-math>\begin{document}$ q $\end{document}</tex-math></inline-formula>-ary 的最小长度具有余量（冗余）<inline-formula><tex-math>\begin{document}$ r $\end{document}</tex-math></inline-formula> 且覆盖半径为 <inline-formula> 的线性代码<tex-math>\begin{document}$ R $\end{document}</tex-math></inline-formula>。在这项工作中，<inline-formula><tex-math>\begin{document}$ \ell_q(tR+1,R) $\end{document}</tex-math></inline-formula 的新上界> 以下列形式获得：</p><p style='text-indent: 20px;'><disp-formula> <label/> <tex-math> \begin{document}$ \begin{equation*} \begin{split} &(a)\; \ell_q(r,R)\le cq^{(rR)/R}\cdot\sqrt[R]{\ln q},\; r\ge3,\; r = tR+1,\; t\ge1,\\ &\phantom{(a)\; } q\;{\rm{ 是 \;an\; 任意\;素数\; 力量}}，\; c{\rm{ \;是\; 独立于\; }}q。\end{split} \end{equation*} $\end{document} </tex-math></disp-formula></p><p style='text-indent:20px;'><disp-formula > <label/> <tex-math> \begin{document}$ \begin{equation*} \begin{split} &(b)\; \ell_q(r,R)< 3.43Rq^{(rR)/R}\cdot\sqrt[R]{\ln q},\; r\ge3,\; r = tR+1,\; t\ge1,\\ &\phantom{(b)\; } q\;{\rm{ 是 \;an\; 随意的\; 素数\;幂}},\; q\;{\rm{ 是\;大\; 足够的}}。\end{split} \end{equation*} $\end{document} </tex-math></disp-formula> </p><p style='text-indent:20px;'>在文献中，对于<inline-formula><tex-math>\begin{document}$ q = (q')^R $\end{文档}</tex-math></inline-formula> 与 <inline-formula><tex-math>\begin{document}$ q' $\end{document}</tex-math></inline-formula > 一个素幂，较小的上界是已知的；然而，当 <inline-formula><tex-math>\begin{document}$ q $\end{document}</tex-math></inline-formula> 是任意素幂时，本文的边界是比已知的更好。</p><p style='text-indent:20px;'>For <inline-formula><tex-math>\begin{document}$ t = 1 $\end{document}< /tex-math></inline-formula>，我们使用 <inline-formula><tex-math> 之间的一一对应关系 \begin{document}$ [n,n-(R+1)]_qR $\end{document}</tex-math></inline-formula> 代码和 <inline-formula><tex-math>\begin {document}$ (R-1) $\end{document}</tex-math></inline-formula>-saturating <inline-formula><tex-math>\begin{document}$ n $\end{ document}</tex-math></inline-formula>-在射影空间中设置 <inline-formula><tex-math>\begin{document}$ \mathrm{PG}(R,q) $\end{文档}</tex-math></inline-formula>。提出了一种提供小尺寸集合的这种饱和集合的新结构。然后 <inline-formula><tex-math>\begin{document}$ [n,n-(R+1)]_qR $\end{document}</tex-math></inline-formula> 代码，通过几何方法获得的，作为电梯构造的起始点（所谓的“<inline-formula>