We study the distribution of extensions of a number field $k$ with fixed abelian Galois group $G$, from which a given finite set of elements of $k$ are norms. In particular, we show the existence of such extensions. Along the way, we show that the Hasse norm principle holds for 100% of $G$-extensions of $k$, when ordered by conductor. The appendix contains an alternative purely geometric proof of our existence result.

中文翻译：

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具有规定规范的数字字段（由 Yonatan Harpaz 和 Olivier Wittenberg 提供的附录）

我们研究了具有固定阿贝尔伽罗瓦群 $G$ 的数域 $k$ 的扩展分布，其中 $k$ 的给定有限元素集是范数。特别是，我们展示了这种扩展的存在。在此过程中，我们展示了 Hasse 范数原则适用于 100% 的 $G$-$k$ 扩展，当由导体订购时。附录包含我们存在结果的另一种纯几何证明。