In this work a general approach to compute a compressed representation of the exponential exp (h) of a high-dimensional function h is presented. Such exponential functions play an important role in several problems in uncertainty quantification, e.g., the approximation of log-normal random fields or the evaluation of Bayesian posterior measures. Usually, these high-dimensional objects are numerically intractable and can only be accessed pointwise in sampling methods. In contrast, the proposed method constructs a functional representation of the exponential by exploiting its nature as a solution of a partial differential equation. The application of a Petrov−Galerkin scheme to this equation provides a tensor train representation of the solution for which we derive an efficient and reliable a posteriori error estimator. This estimator can be used in conjunction with any approximation method and the differential equation may be adapted such that the error estimates are equivalent to a problem-related norm. Numerical experiments with log-normal random fields and Bayesian likelihoods illustrate the performance of the approach in comparison to other recent low-rank representations for the respective applications. Although the present work considers only a specific differential equation, the presented method can be applied in a more general setting. We show that the proposed method can be used to compute compressed representations of φ(h) for any holonomic function φ.

中文翻译：

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张量网络对高维指数的有效逼近

在这项工作中，提出了一种计算高维函数 h 的指数 exp (h) 的压缩表示的一般方法。这种指数函数在不确定性量化的几个问题中发挥着重要作用，例如，对数正态随机场的近似或贝叶斯后验测量的评估。通常，这些高维对象在数值上是难以处理的，只能在采样方法中逐点访问。相比之下，所提出的方法通过利用其作为偏微分方程的解的性质来构造指数的函数表示。将 Petrov-Galerkin 方案应用于该方程提供了解决方案的张量序列表示，我们为该解决方案推导出了一个有效且可靠的后验误差估计器。该估计器可以与任何近似方法结合使用，并且可以调整微分方程以使误差估计等效于与问题相关的范数。对数正态随机场和贝叶斯似然的数值实验说明了该方法与相应应用的其他近期低秩表示相比的性能。虽然目前的工作只考虑了一个特定的微分方程，但所提出的方法可以应用于更一般的环境中。我们表明，所提出的方法可用于计算任何完整函数 φ(h) 的压缩表示。对数正态随机场和贝叶斯似然的数值实验说明了该方法与相应应用的其他近期低秩表示相比的性能。虽然目前的工作只考虑了一个特定的微分方程，但所提出的方法可以应用于更一般的环境中。我们表明，所提出的方法可用于计算任何完整函数 φ(h) 的压缩表示。对数正态随机场和贝叶斯似然的数值实验说明了该方法与相应应用的其他近期低秩表示相比的性能。虽然目前的工作只考虑了一个特定的微分方程，但所提出的方法可以应用于更一般的环境中。我们表明，所提出的方法可用于计算任何完整函数 φ(h) 的压缩表示。