In this paper we obtain a new fully explicit constant for the Pólya–Vinogradov inequality for primitive characters. Given a primitive character $\chi$ modulo $q$, we prove the following upper bound: $$ \Big| \sum_{1 \le n\le N} \chi(n) \Big|\le c \sqrt{q} \log q, $$ where $c=3/(4\pi^2)+o_q(1)$ for even characters and $c=3/(8\pi)+o_q(1)$ for odd characters, with explicit $o_q(1)$ terms. This improves a result of Frolenkov and Soundararajan for large $q$. We proceed, following Hildebrand, to obtain the explicit version of a result by Montgomery–Vaughan on partial Gaussian sums and an explicit Burgess-like result on convoluted Dirichlet characters.

中文翻译：

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原始字符的偏高斯和和 Pólya-Vinogradov 不等式

在本文中，我们为原始字符的 Pólya-Vinogradov 不等式获得了一个新的完全显式常数。给定一个原始字符 $\chi$ 以 $q$ 为模，我们证明以下上界：$$ \Big| \sum_{1 \le n\le N} \chi(n) \Big|\le c \sqrt{q} \log q, $$ 其中 $c=3/(4\pi^2)+o_q(1 )$ 用于偶数字符和 $c=3/(8\pi)+o_q(1)$ 用于奇数字符，具有明确的 $o_q(1)$ 术语。这改进了 Frolenkov 和 Soundararajan 对于大 $q$ 的结果。我们继续遵循 Hildebrand，以获得 Montgomery-Vaughan 在部分高斯和上的结果的显式版本和在卷积 Dirichlet 字符上的显式 Burgess-like 结果。