Let $F$ be a totally real field unramified at all places above $p$ and $D$ be a quaternion algebra which splits at either none, or exactly one, of the infinite places. Let $\overline{r} : \mathrm{Gal}(\overline{F} / F) \to \mathrm{GL}_2 (\overline{\mathbb{F}}_p)$ be a continuous irreducible representation which, when restricted to a fixed place $v \vert p$, is non-semisimple and sufficiently generic. Under some mild assumptions, we prove that the admissible smooth representations of $\mathrm{GL}_2 (F_v)$ occurring in the corresponding Hecke eigenspaces of the $\operatorname{mod} p$ cohomology of Shimura varieties associated to $D$ have Gelfand–Kirillov dimension $[ F_v : \mathbb{Q}_p ]$. We also prove that any such representation can be generated as a $\mathrm{GL}_2 (F_v)$-representation by its subspace of invariants under the first principal congruence subgroup. If moreover $[ F_v : \mathbb{Q}_p ] = 2$, we prove that such representations have length $3$, confirming a speculation of Breuil and Paškūnas.

中文翻译：

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在 $\mathrm{GL}_2$ 的 $\operatorname{mod}p$ 上同调：非半简单情况

令$F$ 是一个在$p$ 以上的所有地方都没有分叉的完全实场，$D$ 是一个四元数代数，它要么在无限的地方没有分裂，要么只分裂在一个。令 $\overline{r} : \mathrm{Gal}(\overline{F} / F) \to \mathrm{GL}_2 (\overline{\mathbb{F}}_p)$ 为连续不可约表示，当限制在一个固定的位置 $v \vert p$ 时，它是非半简单且足够通用的。在一些温和的假设下，我们证明了在与 $D$ 相关的 Shimura 变体的 $\operatorname{mod} p$ 上同调的相应 Hecke 特征空间中出现的 $\mathrm{GL}_2 (F_v)$ 的可接受平滑表示具有Gelfand–Kirillov 维 $[ F_v : \mathbb{Q}_p ]$。我们还证明了任何这样的表示都可以通过其在第一主同余子群下的不变量子空间生成为 $\mathrm{GL}_2 (F_v)$-表示。此外，如果 $[ F_v : \mathbb{Q}_p ] = 2$，我们证明这种表示的长度为 $3$，证实了 Breuil 和 Paškūnas 的推测。