The ensemble-based Kalman filter requires at least a considerable ensemble (e.g., 10,000 members) to identify relevant error covariance at great distances for multidimensional geophysical systems. However, increasing numerous ensemble sizes will enlarge sampling errors. This study proposes a modified Cholesky decomposition based on the covariance localization (CL) scheme, namely a covariance localization scheme with modified Cholesky decomposition (CL-MC). Our main idea utilizes a modified Cholesky (MC) decomposition technique for estimating the background error covariance matrix; meanwhile, we employ the tunable singular value decomposition method on the background error covariance to improve the ensemble increment and avoid the imbalance of the system. To verify if the proposed method can effectively mitigate the sampling errors, numerical experiments are conducted on the Lorenz-96 model and large-scale model (SPEEDY model). The results show that the CL-MC method outperforms the CL method for different data assimilation parameters (ensemble sizes and localizations). Furthermore, by performing one year of assimilation experiments on the SPEEDY model, it is found that the 1-day forecast RMSEs obtained by the CL are approximately equal to the 5-day forecast RMSEs of CL-MC. So, the CL-MC method has potential advantages for long-term forecasting. Maybe the proposed CL-MC method achieves good prospects for widespread application in atmospheric general circulation models.

中文翻译：

---

修改协方差定位以减轻集合数据同化中的采样错误

基于集合的卡尔曼滤波器需要至少一个相当大的集合（例如，10,000 个成员）来识别多维地球物理系统远距离的相关误差协方差。然而，增加大量的集合大小会扩大抽样误差。本研究提出了一种基于协方差定位（CL）方案的改进的Cholesky分解，即带有改进的Cholesky分解（CL-MC）的协方差定位方案。我们的主要思想利用改进的 Cholesky (MC) 分解技术来估计背景误差协方差矩阵；同时，我们对背景误差协方差采用可调奇异值分解方法来提高集成增量，避免系统的不平衡。为了验证所提出的方法是否可以有效地减轻抽样误差，在Lorenz-96模型和大尺度模型（SPEEDY模型）上进行了数值实验。结果表明，对于不同的数据同化参数（集合大小和定位），CL-MC 方法优于 CL 方法。此外，通过对SPEEDY模型进行一年的同化实验，发现CL得到的1天预报均方根误差与CL-MC的5天预报均方根误差近似相等。因此，CL-MC 方法对于长期预测具有潜在的优势。也许所提出的CL-MC方法在大气环流模型中具有广泛应用的良好前景。结果表明，对于不同的数据同化参数（集合大小和定位），CL-MC 方法优于 CL 方法。此外，通过对SPEEDY模型进行一年的同化实验，发现CL得到的1天预报均方根误差与CL-MC的5天预报均方根误差近似相等。因此，CL-MC 方法对于长期预测具有潜在的优势。也许所提出的CL-MC方法在大气环流模型中具有广泛应用的良好前景。结果表明，对于不同的数据同化参数（集合大小和定位），CL-MC 方法优于 CL 方法。此外，通过对SPEEDY模型进行一年的同化实验，发现CL得到的1天预报均方根误差与CL-MC的5天预报均方根误差近似相等。因此，CL-MC 方法对于长期预测具有潜在的优势。也许所提出的CL-MC方法在大气环流模型中具有广泛应用的良好前景。