In [Logarithmic coefficient bounds and coefficient conjectures for classes associated with convex functions, J. Funct. Spaces 2021 (2021), Art. ID 6690027], Alimohammadi et al. presented a few conjectures for the logarithmic coefficients γ n of the functions f belonging to some well-known classes like C ( 1 + α z ) $ \mathcal{C}(1+\alpha z) $ for α ∈ (0, 1], and C V h p l ( 1 / 2 ) $ \mathcal{CV}_{hpl}(1/2) $ . For example, it is conjectured that if the function f ∈ C ( 1 + α z ) $ f\in\mathcal{C}(1+\alpha z) $ , then the logarithmic coefficients of f satisfy the inequalities | γ n | ≤ α 2 n ( n + 1 ) , n ∈ N . $$ |\gamma_n|\le\dfrac{\alpha}{2n(n+1)},\quad n\in\mathbb{N}. $$ Equality is attained for the function L α, n , that is, log L α , n ( z ) z = 2 ∑ n = 1 ∞ γ n ( L α , n ) z n = α n ( n + 1 ) z n + … , z ∈ U . $$ \log\dfrac{L_{\alpha,n}(z)}{z}=2\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\gamma_n(L_{\alpha,n})z^n} =\frac{\alpha}{n(n+1)}z^n+\dots,\quad z\in\mathbb{U}. $$ The aim of this paper is to confirm that these conjectures hold for the coefficient γ n 0−1 whenever the function f has the form f ( z ) = z + ∑ k = n 0 ∞ a k z k $ f(z)=z+\sum\limits_{k=n_{0}}^{\infty}{a_kz^k} $ , z ∈ U $ z\in\mathbb{U} $ for some n 0 ∈ N $ n_0\in\mathbb{N} $ , n 0⩾2.

中文翻译：

---

某类凸函数的对数系数猜想的解

在 [与凸函数相关的类的对数系数界限和系数猜想, J. 函数。空间 2021 (2021)，艺术。ID 6690027]，Alimohammadi 等人。提出了对数系数的一些猜想γ 不是 的功能F属于一些知名的课程，例如 VS ( 1个 + α z ) $ \mathcal{C}(1+\alpha z) $ 为了α∈ (0, 1], 和 VS V H p 我 ( 1个 / 2个 ) $ \mathcal{CV}_{hpl}(1/2) $ . 例如，推测如果函数 F ∈ VS ( 1个 + α z ) $ f\in\mathcal{C}(1+\alpha z) $ , 那么对数系数F满足不等式 | γ 不是 | ≤ α 2个 不是 ( 不是 + 1个 ) , 不是 ∈ 不是 . $$ |\gamma_n|\le\dfrac{\alpha}{2n(n+1)},\quad n\in\mathbb{N}。$$ 为功能实现平等我 α,不是 ， 那是， 日志 我 α , 不是 ( z ) z = 2个 ∑ 不是 = 1个 ∞ γ 不是 ( 我 α , 不是 ) z 不是 = α 不是 ( 不是 + 1个 ) z 不是 + …… , z ∈ ü . $$ \log\dfrac{L_{\alpha,n}(z)}{z}=2\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\gamma_n(L_{\alpha,n})z ^n} =\frac{\alpha}{n(n+1)}z^n+\dots,\quad z\in\mathbb{U}。$$ 本文的目的是确认这些猜想对系数成立γ 不是 0−1每当函数F有形状 F ( z ) = z + ∑ k = 不是 0 ∞ 到 k z k $ f(z)=z+\sum\limits_{k=n_{0}}^{\infty}{a_kz^k} $ , z ∈ ü $z\in\mathbb{U}$ 对于一些 不是 0 ∈ 不是 $n_0\in\mathbb{N}$ ,不是 0⩾2。