Abstract

We prove that the functional equation $f\mathrm{}\star \mathrm{}f(2 t)=\lambda f{(t)}^2$, for t in $\mathbb{Z}/d\mathbb{Z}$ with d odd, admits a nonzero solution f if $\lambda =\sqrt{a}\mathrm{}+\mathrm{}i\sqrt{b}$ with a, b positive integers such that $a\mathrm{}+\mathrm{}b\mathrm{}=\mathrm{}d$ and $a\mathrm{}\equiv \frac{{(d+1)}^2}{4}$ mod 4. The proof involves theta functions on elliptic curves with complex multiplication.

中文翻译：

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阿贝尔群中的卷积和平方 I

摘要

我们证明函数方程$F\mathrm{的}\star \mathrm{的}F(\mathrm{2个} 吨)=\lambda F{(吨)}^{\mathrm{2个}}$, 对于t在$\mathbb{Z}/d\mathbb{Z}$d为奇数，承认非零解f如果$\lambda =\sqrt{A}\mathrm{的}+\mathrm{的}我\sqrt{b}$与a , b正整数使得$A\mathrm{的}+\mathrm{的}b\mathrm{的}=\mathrm{的}d$和$A\mathrm{的}\equiv \frac{{(d+\mathrm{1个})}^{\mathrm{2个}}}{\mathrm{4个}}$mod 4. 证明涉及椭圆曲线上具有复数乘法的 theta 函数。