Fully normalized associated Legendre functions (fnALFs) are a set of orthogonal basis functions that are usually calculated by using the recurrence equation. This paper presented the applicability and universality of the standard forward column/row recurrence equation based on the isolated singular factor method and extended-range arithmetic. Isolating a singular factor is a special normalization method that can improve the universality of the standard forward row recurrence equation to a certain extent, its universality can up to degree hundreds. However, it is invalid for standard forward column recurrence equation. The extended-range arithmetic expands the double-precision number field to the quad-precision number field. The quad-precision number field can retain more significant digits in the operation process and express larger and smaller numbers. The extended-range arithmetic can significantly improve the applicability and universality of the standard forward column/row recurrence equations, its universality can up to degree several thousand. However, the quad-precision number field operation needs to occupy more storage space, which is why its operation speed is slow and undesirable in practical applications. In this paper, the X-number method is introduced in the standard forward row recurrence equation for the first time. With the use of the X-number method, fnALFs can be recursed to 4.2 billion degree by using standard forward column/row recurrence equations.

完全归一化的关联勒让德函数 (fnALF) 是一组正交基函数，通常使用递归方程计算。介绍了基于孤立奇异因子法和扩域算法的标准正向列/行递归方程的适用性和普适性。孤立奇异因子是一种特殊的归一化方法，可以在一定程度上提高标准正向行递归方程的普适性，其普适性可达数百度。但是，它对标准正列递归方程无效。扩展范围算法将双精度数字字段扩展为四精度数字字段。四精度数域可以在运算过程中保留较多的有效位，表示较大和较小的数。扩展范围算法可以显着提高标准正向列/行递归方程的适用性和普适性，其普适性可达数千度。但是，四精度数域运算需要占用较多的存储空间，这也是其运算速度较慢，在实际应用中不受欢迎的原因。本文首次在标准正向行递归方程中引入X数法。通过使用 X 数方法，fnALF 可以通过使用标准正向列/行递归方程递归到 42 亿度。扩展范围算法可以显着提高标准正向列/行递归方程的适用性和普适性，其普适性可达数千度。但是，四精度数域运算需要占用较多的存储空间，这也是其运算速度较慢，在实际应用中不受欢迎的原因。本文首次在标准正向行递归方程中引入X数法。通过使用 X 数方法，fnALF 可以通过使用标准正向列/行递归方程递归到 42 亿度。扩展范围算法可以显着提高标准正向列/行递归方程的适用性和普适性，其普适性可达数千度。但是，四精度数域运算需要占用较多的存储空间，这也是其运算速度较慢，在实际应用中不受欢迎的原因。本文首次在标准正向行递归方程中引入X数法。通过使用 X 数方法，fnALF 可以通过使用标准正向列/行递归方程递归到 42 亿度。这就是为什么在实际应用中它的运算速度慢而不受欢迎的原因。本文首次在标准正向行递归方程中引入X数法。通过使用 X 数方法，fnALF 可以通过使用标准正向列/行递归方程递归到 42 亿度。这就是为什么在实际应用中它的运算速度慢而不受欢迎的原因。本文首次在标准正向行递归方程中引入X数法。通过使用 X 数方法，fnALF 可以通过使用标准正向列/行递归方程递归到 42 亿度。