We study the splitting fields of the family of polynomials $f_n\left(X\right)=X^n-X-1$. This family of polynomials has been much studied in the literature and has some remarkable properties. In Serre (2003), Serre related the function on primes $N_p\left(f_n\right)$, for a fixed $n\le 4$ and $p$ a varying prime, which counts the number of roots of $f_n\left(X\right)$ in ${\mathbb{F}}_p$ to coefficients of modular forms. We study the case $n=5$, and relate $N_p\left(f_5\right)$ to mod 5 modular forms over $\mathbb{Q}$, and to characteristic 0, parallel weight 1 Hilbert modular forms over $\mathbb{Q}\left(\sqrt{19\cdot 151}\right)$.

中文翻译：

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Xn−X−1 的分裂域（特别是 n=5）、素数分解和模形式

我们研究多项式族的分裂域$F_n（X）=X^n-X-1$。这一系列多项式在文献中得到了大量研究，并且具有一些显着的性质。在 Serre (2003) 中，Serre 将素数函数联系起来${氮}_p（F_n）$，对于固定的$n\le 4$和$p$一个变化的素数，它计算的根数$F_n（X）$在${\mathbb{F}}_p$到模形式的系数。我们研究案例$n=5$，并关联${氮}_p（F_5）$模 5 模块化形式$\mathbb{问}$，并且对于特征 0，平行权重 1 希尔伯特模形式$\mathbb{问}（\sqrt{\mathrm{19\; 号}\cdot 151}）$。