Let F be a finite extension of ${\mathbb Q}_p$. Let $\Omega$ be the Drinfeld upper half plane, and $\Sigma^1$ the first Drinfeld covering of $\Omega$. We study the affinoid open subset $\Sigma^1_v$ of $\Sigma^1$ above a vertex of the Bruhat–Tits tree for $\text{GL}_2(F)$. Our main result is that $\text{Pic}\!\left(\Sigma^1_v\right)[p] = 0$, which we establish by showing that $\text{Pic}({\mathbf Y})[p] = 0$ for ${\mathbf Y}$ the Deligne–Lusztig variety of $\text{SL}_2\!\left({\mathbb F}_q\right)$. One formal consequence is a description of the representation $H^1_{{\acute{\text{e}}\text{t}}}\!\left(\Sigma^1_v, {\mathbb Z}_p(1)\right)$ of $\text{GL}_2(\mathcal{O}_F)$ as the p-adic completion of $\mathcal{O}\!\left(\Sigma^1_v\right)^\times$.

中文翻译：

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第一个 Drinfeld 覆盖中的 Picard 群顶点仿射

让F是的有限扩展 ${\mathbb Q}_p$ . 让 $\欧米茄$ 是 Drinfeld 上半平面，并且 $\西格玛^1$ 第一个 Drinfeld 覆盖 $\欧米茄$ . 我们研究仿射开子集 $\西格玛^1_v$ 的 $\西格玛^1$ 在 Bruhat-Tits 树的一个顶点之上 $\text{GL}_2(F)$ . 我们的主要结果是 $\text{图片}\!\left(\Sigma^1_v\right)[p] = 0$ ，我们通过证明 $\text{图片}({\mathbf Y})[p] = 0$ 为了 ${\mathbf Y}$ Deligne-Lusztig 变体 $\text{SL}_2\!\left({\mathbb F}_q\right)$ . 一个正式的结果是对表示的描述 $H^1_{{\acute{\text{e}}\text{t}}}\!\left(\Sigma^1_v, {\mathbb Z}_p(1)\right)$ 的 $\text{GL}_2(\mathcal{O}_F)$ 作为p-adic完成 $\mathcal{O}\!\left(\Sigma^1_v\right)^\times$ .