The aims of this paper are to answer several conjectures and questions about the multiplier spectrum of rational maps and giving new proofs of several rigidity theorems in complex dynamics by combining tools from complex and non-Archimedean dynamics. A remarkable theorem due to McMullen asserts that, aside from the flexible Lattès family, the multiplier spectrum of periodic points determines the conjugacy class of rational maps up to finitely many choices. The proof relies on Thurston’s rigidity theorem for post-critically finite maps, in which Teichmüller theory is an essential tool. We will give a new proof of McMullen’s theorem (and therefore a new proof of Thurston’s theorem) without using quasiconformal maps or Teichmüller theory. We show that, aside from the flexible Lattès family, the length spectrum of periodic points determines the conjugacy class of rational maps up to finitely many choices. This generalizes the aforementioned McMullen’s theorem. We will also prove a rigidity theorem for marked length spectrum. Similar ideas also yield a simple proof of a rigidity theorem due to Zdunik. We show that a rational map is exceptional if and only if one of the following holds: (i) the multipliers of periodic points are contained in the integer ring of an imaginary quadratic field, and (ii) all but finitely many periodic points have the same Lyapunov exponent. This solves two conjectures of Milnor.

中文翻译：

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复杂动力学中的同宿轨道、乘子谱和刚度定理

本文的目的是通过结合复杂和非阿基米德动力学的工具，回答关于有理映射的乘子谱的几个猜想和问题，并给出复杂动力学中几个刚性定理的新证明。McMullen 提出的一个非凡的定理断言，除了灵活的 Lattès 族之外，周期点的乘数谱决定了有理映射的共轭类，直到有限多个选择。该证明依赖于 Thurston 的后临界有限映射的刚性定理，其中 Teichmüller 理论是必不可少的工具。我们将在不使用拟共形映射或 Teichmüller 理论的情况下给出 McMullen 定理的新证明（因此也是 Thurston 定理的新证明）。我们表明，除了灵活的 Lattès 家族外，周期点的长度谱决定了有理映射的共轭类别，最多为有限多个选择。这推广了前面提到的 McMullen 定理。我们还将证明标记长度谱的刚性定理。由于 Zdunik，类似的想法也产生了刚性定理的简单证明。我们表明，当且仅当以下条件之一成立时，有理映射是例外的：(i) 周期点的乘数包含在虚二次域的整数环中，以及 (ii) 除了有限多个周期点外，所有周期点都具有相同的 Lyapunov 指数。这就解决了米尔诺的两个猜想。由于 Zdunik，类似的想法也产生了刚性定理的简单证明。我们表明，当且仅当以下条件之一成立时，有理映射是例外的：(i) 周期点的乘数包含在虚二次域的整数环中，以及 (ii) 除了有限多个周期点外，所有周期点都具有相同的 Lyapunov 指数。这就解决了米尔诺的两个猜想。由于 Zdunik，类似的想法也产生了刚性定理的简单证明。我们表明，当且仅当以下条件之一成立时，有理映射是例外的：(i) 周期点的乘数包含在虚二次域的整数环中，以及 (ii) 除了有限多个周期点外，所有周期点都具有相同的 Lyapunov 指数。这就解决了米尔诺的两个猜想。