Abstract

In the context of tropical mathematics, the problem of solving a vector equation with two given matrices and unknown vectors, each part of which has the form of a product of one of the matrices and an unknown vector, is considered. Such an equation, which has an unknown vector on either side of the equal sign, is often called a two-sided equation. A new procedure for solving two-sided equations is proposed based on minimizing some distance function between the vectors of tropical vector spaces that are generated by the columns of each of the matrices. As a result of the procedure, a pair of vectors is obtained, which provides a minimum distance between the spaces and the value of the distance itself. If the equation has solutions, then the resulting vectors are the solution to the equation. Otherwise, these vectors define a pseudo-solution that minimizes the deviation of one side of the equation from the other. Execution of the procedure consists in constructing a sequence of vectors that are pseudo-solutions of the two-sided equation in which the left and right sides are alternately replaced by constant vectors. Unlike the well-known alternating algorithm, in which the corresponding inequalities are solved one by one instead of equations, the proposed procedure uses a different argument, looks simpler, and allows one to establish natural criteria for completing calculations. If the equation has no solutions, the procedure also finds a pseudo-solution and determines the value of the error associated with it, which can be useful in solving approximation problems.

中文翻译：

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热带代数中一个二元向量方程的解

摘要

在热带数学的背景下，考虑求解具有两个给定矩阵和未知向量的向量方程的问题，其中每个部分具有矩阵之一和未知向量的乘积的形式。这样的等号两边各有一个未知向量的方程，常被称为双边方程。基于最小化由每个矩阵的列生成的热带向量空间的向量之间的某些距离函数，提出了一种求解双边方程的新方法。作为该过程的结果，获得了一对向量，它提供了空间之间的最小距离和距离本身的值。如果方程有解，则得到的向量就是方程的解。否则，这些向量定义了一个伪解，可以最小化方程一侧与另一侧的偏差。该过程的执行包括构造一个向量序列，这些向量是双侧方程的伪解，其中左侧和右侧由常数向量交替替换。与著名的交替算法不同，在交替算法中，相应的不等式不是方程式而是一个一个地求解，所提出的过程使用不同的参数，看起来更简单，并允许人们建立完成计算的自然标准。如果方程没有解，该过程还会找到一个伪解并确定与之相关的误差值，这在解决近似问题时很有用。该过程的执行包括构造一个向量序列，这些向量是双侧方程的伪解，其中左侧和右侧由常数向量交替替换。与著名的交替算法不同，在交替算法中，相应的不等式不是方程式而是一个一个地求解，所提出的过程使用不同的参数，看起来更简单，并允许人们建立完成计算的自然标准。如果方程没有解，该过程还会找到一个伪解并确定与之相关的误差值，这在解决近似问题时很有用。该过程的执行包括构造一个向量序列，这些向量是两侧方程的伪解，其中左侧和右侧由常数向量交替替换。与著名的交替算法不同，在交替算法中，相应的不等式不是方程式而是一个一个地求解，所提出的过程使用不同的参数，看起来更简单，并允许人们建立完成计算的自然标准。如果方程没有解，该过程还会找到一个伪解并确定与之相关的误差值，这在解决近似问题时很有用。与著名的交替算法不同，在交替算法中，相应的不等式不是方程式而是一个一个地求解，所提出的过程使用不同的参数，看起来更简单，并允许人们建立完成计算的自然标准。如果方程没有解，该过程还会找到一个伪解并确定与之相关的误差值，这在解决近似问题时很有用。与著名的交替算法不同，在交替算法中，相应的不等式不是方程式而是一个一个地求解，所提出的过程使用不同的参数，看起来更简单，并允许人们建立完成计算的自然标准。如果方程没有解，该过程还会找到一个伪解并确定与之相关的误差值，这在解决近似问题时很有用。