This paper studies the influence of scaling on the behavior of radial basis function interpolation. It focuses on certain central aspects, but does not try to be exhaustive. The most important questions are: How does the error of a kernel-based interpolant vary with the scale of the kernel chosen? How does the standard error bound vary? And since fixed functions may be in spaces that allow scalings, like global Sobolev spaces, is there a scale of the space that matches the function best? The last question is answered in the affirmative for Sobolev spaces, but the required scale may be hard to estimate. Scalability of functions turns out to be restricted for spaces generated by analytic kernels, unless the functions are band-limited. In contrast to other papers, polynomials and polyharmonics are included as flat limits when checking scales experimentally, with an independent computation. The numerical results show that the hunt for near-flat scales is questionable, if users include the flat limit cases right from the start. When there are not enough data to evaluate errors directly, the scale of the standard error bound can be varied, up to replacing the norm of the unknown function by the norm of the interpolant. This follows the behavior of the actual error qualitatively well, but is only of limited value for estimating error-optimal scales. For kernels and functions with unlimited smoothness, the given interpolation data are proven to be insufficient for determining useful scales.

中文翻译：

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径向基函数的缩放

本文研究了缩放对径向基函数插值行为的影响。它侧重于某些核心方面，但并不力求面面俱到。最重要的问题是：基于内核的插值的误差如何随所选内核的规模而变化？标准误差范围如何变化？由于固定函数可能位于允许缩放的空间中，例如全局 Sobolev 空间，是否存在与函数最匹配的空间尺度？最后一个问题对于 Sobolev 空间的回答是肯定的，但所需的规模可能难以估计。事实证明，函数的可扩展性受解析内核生成的空间的限制，除非函数是带限的。与其他论文相比，在通过独立计算通过实验检查尺度时，多项式和多项式作为平坦限制包括在内。数值结果表明，如果用户从一开始就包括平坦极限情况，那么寻找接近平坦的尺度是有问题的。当没有足够的数据直接评估误差时，可以改变标准误差界限的尺度，直到用插值的范数代替未知函数的范数。这在质量上很好地遵循了实际误差的行为，但对于估计误差最优尺度的价值有限。对于具有无限平滑度的内核和函数，给定的插值数据被证明不足以确定有用的尺度。如果用户从一开始就包含统一限制情况。当没有足够的数据直接评估误差时，可以改变标准误差界限的尺度，直到用插值的范数代替未知函数的范数。这在质量上很好地遵循了实际误差的行为，但对于估计误差最优尺度的价值有限。对于具有无限平滑度的内核和函数，给定的插值数据被证明不足以确定有用的尺度。如果用户从一开始就包含统一限制情况。当没有足够的数据直接评估误差时，可以改变标准误差界限的尺度，直到用插值的范数代替未知函数的范数。这在质量上很好地遵循了实际误差的行为，但对于估计误差最优尺度的价值有限。对于具有无限平滑度的内核和函数，给定的插值数据被证明不足以确定有用的尺度。但对于估计误差最优尺度的价值有限。对于具有无限平滑度的内核和函数，给定的插值数据被证明不足以确定有用的尺度。但对于估计误差最优尺度的价值有限。对于具有无限平滑度的内核和函数，给定的插值数据被证明不足以确定有用的尺度。