In 1976, Gallagher showed that the Hardy–Littlewood conjectures on prime k-tuples imply that the distribution of primes in log-size intervals is Poissonian. He did so by computing average values of the singular series constants over different sets of a fixed size k contained in an interval $[1,h]$ as $h \to \infty$, and then using this average to compute moments of the distribution of primes. In this paper, we study averages where k is relatively large with respect to h. We then apply these averages to the tail of the distribution. For example, we show, assuming appropriate Hardy–Littlewood conjectures and in certain ranges of the parameters, the number of intervals $[n,n +\lambda \log x]$ with $n\le x$ containing at least k primes is $\ll x\exp(-k/(\lambda {\rm e}))$.

中文翻译：

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具有大集合的奇异级数和以及素数分布的尾部

1976 年，Gallagher 证明了关于素数 k 元组的 Hardy-Littlewood 猜想意味着对数大小区间内的素数分布是泊松分布。他通过计算区间 $[1,h]$ 中包含的固定大小 k 的不同集合的奇异级数常数的平均值为 $h \to \infty$，然后使用该平均值来计算素数分布的矩。在本文中，我们研究 k 相对于 h 相对较大的平均值。然后我们将这些平均值应用于分布的尾部。例如，我们证明，假设适当的 Hardy–Littlewood 猜想并且在一定的参数范围内，$n\le x$ 包含至少 k 个素数的区间 $[n,n +\lambda \log x]$ 的数量为 $\ll x\exp(-k/(\lambda {\rm e}))$。