We say that $S\subseteq \mathbb Z$ is a set of k-recurrence if for every measure-preserving transformation T of a probability measure space $(X,\mu )$ and every $A\subseteq X$ with $\mu (A)>0$ , there is an $n\in S$ such that $\mu (A\cap T^{-n} A\cap T^{-2n}\cap \cdots \cap T^{-kn}A)>0$ . A set of $1$ -recurrence is called a set of measurable recurrence. Answering a question of Frantzikinakis, Lesigne, and Wierdl [Sets of k-recurrence but not (k+1)-recurrence. Ann. Inst. Fourier (Grenoble)56(4) (2006), 839–849], we construct a set of $2$ -recurrence S with the property that $\{n^2:n\in S\}$ is not a set of measurable recurrence.

中文翻译：

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一组 2-递归，其完美平方不形成一组可测量的递归

我们这么说 $S\subseteq \mathbb Z$ 是一组k- 如果对于每个保留度量的变换，则重复时间概率测度空间的 $(X,\mu)$ 和每一个 $A\子集X$ 和 $\mu (A)>0$ ， 有一个 $n\新元 这样 $\mu (A\cap T^{-n} A\cap T^{-2n}\cap \cdots \cap T^{-kn}A)>0$ 。一套 $1$ -recurrence 称为一组可测量的复发。回答 Frantzikinakis、Lesigne 和 Wierdl 的问题 [Sets ofk- 复发但不（k+1)-复发。安. 研究所。傅里叶（格勒诺布尔）56(4) (2006), 839–849]，我们构建了一组 $2$ -复发S与财产 $\{n^2:n\in S\}$ 不是一组可测量的复发。