We consider the quotient group T ⁢ ( G ) T(G) of the multiple holomorph by the holomorph of a finite 𝑝-group 𝐺 of class two for an odd prime 𝑝. By work of the first-named author, we know that T ⁢ ( G ) T(G) contains a cyclic subgroup of order p r − 1 ⁢ ( p − 1 ) p^{r-1}(p-1) , where p r p^{r} is the exponent of the quotient of 𝐺 by its center. In this paper, we shall exhibit examples of 𝐺 (with r = 1 r=1 ) such that T ⁢ ( G ) T(G) has order exactly p − 1 p-1 , which is as small as possible.

中文翻译：

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有限 𝑝-具有小型多重全纯形的二类群

我们考虑商群 时间 ⁢ （ G ） 训练时间(G) 由奇数素数 𝑝 的第二类有限 𝑝 群 𝐺 的全纯组成的多重全纯态。根据第一作者的工作，我们知道 时间 ⁢ （ G ） 训练时间(G) 包含阶循环子群 p r - 1 ⁢ （ p - 1 ） p^{r-1}(p-1) ， 在哪里 p r p^{r} 是 𝐺 与其中心商的指数。在本文中，我们将展示 𝐺 的示例（其中 r = 1 r=1 ）这样 时间 ⁢ （ G ） 训练时间(G) 有准确的顺序 p - 1 p-1 ，它尽可能小。