SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, Volume 44, Issue 3, Page 1447-1476, September 2023.
Abstract. The set of covariance matrices equipped with the Bures–Wasserstein distance is the orbit space of the smooth, proper, and isometric action of the orthogonal group on the Euclidean space of square matrices. This construction induces a natural orbit stratification on covariance matrices, which is exactly the stratification by the rank. Thus, the strata are the manifolds of symmetric positive semidefinite matrices of fixed rank endowed with the Bures–Wasserstein Riemannian metric. In this work, we study the geodesics of the Bures–Wasserstein distance. First, we complete the literature on geodesics in each stratum by clarifying the set of preimages of the exponential map and by specifying the injectivity domain. We also give explicit formulae of the horizontal lift, the exponential map, and the Riemannian logarithms that were kept implicit in previous works. Second, we give the expression of all the minimizing geodesic segments joining two covariance matrices of any rank. More precisely, we show that the set of all minimizing geodesics between two covariance matrices [math] and [math] is parametrized by the closed unit ball of [math] for the spectral norm, where [math] are the respective ranks of [math]. In particular, the minimizing geodesic is unique if and only if [math]. Otherwise, there are infinitely many. As a secondary contribution, we provide a review of the definitions related to geodesics in metric spaces, affine connection manifolds, and Riemannian manifolds, which is helpful for the study of other spaces.

中文翻译：

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Bures-Wasserstein 最小化不同阶协方差矩阵之间的测地线

《SIAM 矩阵分析与应用杂志》，第 44 卷，第 3 期，第 1447-1476 页，2023 年 9 月。
抽象的。具有Bures-Wasserstein距离的协方差矩阵集合是正交群在方阵的欧几里得空间上的光滑、真、等距作用的轨道空间。这种构造导致了协方差矩阵上的自然轨道分层，这正是按等级进行的分层。因此，层是具有 Bures-Wasserstein Riemannian 度量的固定秩对称正半定矩阵的流形。在这项工作中，我们研究了 Bures-Wasserstein 距离的测地线。首先，我们通过澄清指数图的原像集并指定单射域来完成每个层中测地线的文献。我们还给出了水平升力、指数图的明确公式，以及在以前的作品中隐含的黎曼对数。其次，我们给出连接任意阶的两个协方差矩阵的所有最小化测地线段的表达式。更准确地说，我们表明两个协方差矩阵 [math] 和 [math] 之间的所有最小化测地线的集合由谱范数的 [math] 的闭合单位球参数化，其中 [math] 是 [math] 的相应等级]。特别是，当且仅当[数学]时，最小化测地线是唯一的。否则的话，就有无穷多个。作为次要贡献，我们回顾了度量空间中测地线、仿射连接流形和黎曼流形相关的定义，这有助于其他空间的研究。我们给出了连接任意阶的两个协方差矩阵的所有最小化测地线段的表达式。更准确地说，我们表明两个协方差矩阵 [math] 和 [math] 之间的所有最小化测地线的集合由谱范数的 [math] 的闭合单位球参数化，其中 [math] 是 [math] 的相应等级]。特别是，当且仅当[数学]时，最小化测地线是唯一的。否则的话，就有无穷多个。作为次要贡献，我们回顾了度量空间中测地线、仿射连接流形和黎曼流形相关的定义，这有助于其他空间的研究。我们给出了连接任意阶的两个协方差矩阵的所有最小化测地线段的表达式。更准确地说，我们表明两个协方差矩阵 [math] 和 [math] 之间的所有最小化测地线的集合由谱范数的 [math] 的闭合单位球参数化，其中 [math] 是 [math] 的相应等级]。特别是，当且仅当[数学]时，最小化测地线是唯一的。否则的话，就有无穷多个。作为次要贡献，我们回顾了度量空间中测地线、仿射连接流形和黎曼流形相关的定义，这有助于其他空间的研究。我们证明，两个协方差矩阵 [math] 和 [math] 之间的所有最小化测地线的集合由谱范数的 [math] 的闭合单位球参数化，其中 [math] 是 [math] 的相应等级。特别是，当且仅当[数学]时，最小化测地线是唯一的。否则的话，就有无穷多个。作为次要贡献，我们回顾了度量空间中测地线、仿射连接流形和黎曼流形相关的定义，这有助于其他空间的研究。我们证明，两个协方差矩阵 [math] 和 [math] 之间的所有最小化测地线的集合由谱范数的 [math] 的闭合单位球参数化，其中 [math] 是 [math] 的相应等级。特别是，当且仅当[数学]时，最小化测地线是唯一的。否则的话，就有无穷多个。作为次要贡献，我们回顾了度量空间中测地线、仿射连接流形和黎曼流形相关的定义，这有助于其他空间的研究。