Asymptotic behavior at infinity is investigated for fundamental solutions of a hypoelliptic partial differential operator 𝐏 ⁢ ( i ⁢ ∂ x ) = ( P 1 ⁢ ( i ⁢ ∂ x ) ) m 1 ⁢ ⋯ ⁢ ( P l ⁢ ( i ⁢ ∂ x ) ) m l \mathbf{P}(i\partial_{x})=(P_{1}(i\partial_{x}))^{m_{1}}\cdots(P_{l}(i\partial% _{x}))^{m_{l}} with the characteristic polynomial that has real multiple zeros. Based on asymptotic expansions of fundamental solutions, asymptotic classes of functions are introduced and existence and uniqueness of solutions in those classes are established for the equation 𝐏 ⁢ ( i ⁢ ∂ x ) ⁢ u = f {\mathbf{P}(i\partial_{x})u=f} in ℝ n {\mathbb{R}^{n}} . The obtained results imply, in particular, a new uniqueness theorem for the classical Helmholtz equation.

中文翻译：

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亚椭圆算子基本解的渐近分析

研究了亚椭圆偏微分算子的基本解的无穷远渐近行为 𝐏 ⁢ （ 我 ⁢ ∂ X ） = （ 磷 1 ⁢ （ 我 ⁢ ∂ X ） ） 米 1 ⁢ ⋯ ⁢ （ 磷 我 ⁢ （ 我 ⁢ ∂ X ） ） 米 我 \mathbf{P}(i\partial_{x})=(P_{1}(i\partial_{x}))^{m_{1}}\cdots(P_{l}(i\partial% _{x) }))^{m_{l}} 具有实数多个零的特征多项式。基于基本解的渐近展开，引入函数的渐近类，并为方程建立这些类中解的存在性和唯一性 𝐏 ⁢ （ 我 ⁢ ∂ X ） ⁢ 你 = F {\mathbf{P}(i\partial_{x})u=f} 在 ℝ n {\mathbb{R}^{n}} 。所获得的结果特别意味着经典亥姆霍兹方程的一个新的唯一性定理。