The two-distance vertex-distinguishing index χ d 2 ′ ( G ) {\chi }_{d2}^{^{\prime} }\left(G) of graph G G is defined as the smallest integer k k , for which the edges of G G can be properly colored using k k colors. In this way, any pair of vertices at distance of two have distinct sets of colors. The two-distance vertex-distinguishing edge coloring of graphs can be used to solve some network problems. In this article, we used the method of discharging to prove that if G G is a graph with mad ( G ) < 8 3 \left(G)\lt \frac{8}{3} , then χ d 2 ′ ( G ) ≤ max { 7 , Δ + 2 } {\chi }_{d2}^{^{\prime} }\left(G)\le \max \left\{7,\Delta +2\right\} , which improves the result that a graph G G of Δ ( G ) ≥ 4 \Delta \left(G)\ge 4 has χ d 2 ′ ( G ) ≤ Δ ( G ) + 2 {\chi }_{d2}^{^{\prime} }\left(G)\le \Delta \left(G)+2 if mad ( G ) < 5 2 \left(G)\lt \frac{5}{2} , and χ d 2 ′ ( G ) ≤ Δ ( G ) + 3 {\chi }_{d2}^{^{\prime} }\left(G)\le \Delta \left(G)+3 if mad ( G ) < 8 3 \left(G)\lt \frac{8}{3} .

中文翻译：

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稀疏图的二距离顶点区分索引

两距离顶点区分指标 χ d 2 ′ （ G ） {\chi }_{d2}^{^{\prime} }\left(G) 图表的 G G 被定义为最小整数 k k ，对于其中的边缘 G G 可以使用适当的颜色 k k 颜色。这样，任何距离为 2 的顶点对都具有不同的颜色组。图的两距离顶点可区分边着色可以用来解决一些网络问题。在本文中，我们用放电的方法来证明，如果 G G 是一个带有 mad 的图表 （ G ） < 8 3 \left(G)\lt \frac{8}{3} ， 然后 χ d 2 ′ （ G ） ≤ 最大限度 { 7 , Δ + 2 } {\chi }_{d2}^{^{\prime} }\left(G)\le \max \left\{7,\Delta +2\right\} ，这改进了图的结果 G G 的 Δ （ G ） ≥ 4 \Delta \left(G)\ge 4 有 χ d 2 ′ （ G ） ≤ Δ （ G ） + 2 {\chi }_{d2}^{^{\prime} }\left(G)\le \Delta \left(G)+2 如果生气 （ G ） < 5 2 \left(G)\lt \frac{5}{2} ， 和 χ d 2 ′ （ G ） ≤ Δ （ G ） + 3 {\chi }_{d2}^{^{\prime} }\left(G)\le \Delta \left(G)+3 如果生气 （ G ） < 8 3 \left(G)\lt \frac{8}{3} 。