Let \({\mathcal {C}}\) be a 430-cap of \(\textrm{PG}(6,4)\) having two intersection sizes with respect to hyperplanes. We show that no hyperplane of \(\textrm{PG}(6,4)\) intersects \({\mathcal {C}}\) in a Hill 78-cap. So if it can be shown that the Hill 78-cap of \(\textrm{PG}(5,4)\) is projectively unique, then such a 430-cap does not exist, or equivalently, a two-weight \([430,7]_{\mathbb {F}_4}\) linear code with dual weight at least 4, does not exist.

中文翻译：

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在 $$\textrm{PG}(6,4)$$ 的 430 上限上，相对于超平面有两个交集大小

令\({\mathcal {C}}\)为\(\textrm{PG}(6,4)\)的 430 上限，具有两个相对于超平面的交集大小。我们证明，在 Hill 78 帽中，\(\textrm{PG}(6,4)\)没有超平面与\({\mathcal {C}}\)相交。因此，如果可以证明\(\textrm{PG}(5,4)\)的 Hill 78-cap是投影唯一的，那么这样的 430-cap 不存在，或者等效地，两个权重\( [430,7]_{\mathbb {F}_4}\) 对偶权重至少为 4 的线性代码不存在。