Let Φ : [ 0 , ∞ ) → [ 0 , ∞ ) {\Phi:[0,\infty)\rightarrow[0,\infty)} be a Young’s function satisfying the Δ 2 {\Delta_{2}} -condition and let M ℬ {M_{\mathcal{B}}} be the geometric maximal operator associated to a homothecy invariant basis ℬ {\mathcal{B}} acting on measurable functions on ℝ n {\mathbb{R}^{n}} . Let Q be the unit cube in ℝ n {\mathbb{R}^{n}} and let L Φ ⁢ ( Q ) {L^{\Phi}(Q)} be the Orlicz space associated to Φ with the norm given by ∥ f ∥ L Φ ⁢ ( Q ) := inf ⁡ { c > 0 : ∫ Q Φ ⁢ ( | f | c ) ≤ 1 } . \|f\|_{L^{\Phi}(Q)}:=\inf\Biggl{\{}c>0:\int_{Q}\Phi\bigg{(}\frac{|f|}{c}\bigg{% )}\leq 1\Bigg{\}}. We show that M ℬ {M_{\mathcal{B}}} satisfies the weak type estimate | { x ∈ ℝ n : M ℬ ⁢ f ⁢ ( x ) > α } | ≤ C 1 ⁢ ∫ ℝ n Φ ⁢ ( | f | α ) |\{x\in\mathbb{R}^{n}:M_{\mathcal{B}}\kern 1.422638ptf(x)>\alpha\}|\leq C_{1}% \int_{\mathbb{R}^{n}}\Phi\bigg{(}\frac{|f|}{\alpha}\bigg{)} for all measurable functions f on ℝ n {\mathbb{R}^{n}} and α > 0 {\alpha>0} if and only if M ℬ {M_{\mathcal{B}}} satisfies the weak type estimate | { x ∈ Q : M ℬ ⁢ f ⁢ ( x ) > α } | ≤ C 2 ⁢ ∥ f ∥ L Φ ⁢ ( Q ) α |\{x\in Q:M_{\mathcal{B}}\kern 1.422638ptf(x)>\alpha\}|\leq C_{2}\frac{\|f\|_{% L^{\Phi}(Q)}}{\alpha} for all measurable functions f supported on Q and α > 0 {\alpha>0} . As a consequence of this equivalence, we prove that if Φ satisfies the above conditions and ℬ {\mathcal{B}} is a homothecy invariant basis differentiating integrals of all measurable functions f on ℝ n {\mathbb{R}^{n}} such that ∫ ℝ n Φ ⁢ ( | f | ) < ∞ {\int_{\mathbb{R}^{n}}\Phi(|f|)<\infty} , then the associated maximal operator M ℬ {M_{\mathcal{B}}} satisfies both of the above weak type estimates.

中文翻译：

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几何极大算子弱型不等式的两种表示

让 Φ : [ 0 , 无穷大 ） → [ 0 , 无穷大 ） {\Phi:[0,\infty)\rightarrow[0,\infty)} 是满足以下条件的杨氏函数 Δ 2 {\Delta_{2}} -条件并让 中号 ℬ {M_{\mathcal{B}}} 是与同伦不变基相关的几何极大算子 ℬ {\mathcal{B}} 作用于可测量的函数 ℝ n {\mathbb{R}^{n}} 。让问是单位立方体 ℝ n {\mathbb{R}^{n}} 然后让 L Φ ⁢ （ 问 ） {L^{\Phi}(Q)} 是与 Φ 相关的 Orlicz 空间，其范数为 ∥ F ∥ L Φ ⁢ （ 问 ） := 信息 ⁡ { C > 0 : ∫ 问 Φ ⁢ （ | F | C ） ≤ 1 } 。 \|f\|_{L^{\Phi}(Q)}:=\inf\Biggl{\{}c>0:\int_{Q}\Phi\bigg{(}\frac{|f|} {c}\bigg{% )}\leq 1\Bigg{\}}。 我们表明 中号 ℬ {M_{\mathcal{B}}} 满足弱类型估计 | { X ε ℝ n : 中号 ℬ ⁢ F ⁢ （ X ） > α } | ≤ C 1 ⁢ ∫ ℝ n Φ ⁢ （ | F | α ） |\{x\in\mathbb{R}^{n}:M_{\mathcal{B}}\kern 1.422638ptf(x)>\alpha\}|\leq C_{1}% \int_{\mathbb{ R}^{n}}\Phi\bigg{(}\frac{|f|}{\alpha}\bigg{)} 对于所有可测量的功能F在 ℝ n {\mathbb{R}^{n}} 和 α > 0 {\alpha>0} 当且仅当 中号 ℬ {M_{\mathcal{B}}} 满足弱类型估计 | { X ε 问 : 中号 ℬ ⁢ F ⁢ （ X ） > α } | ≤ C 2 ⁢ ∥ F ∥ L Φ ⁢ （ 问 ） α |\{x\in Q:M_{\mathcal{B}}\kern 1.422638ptf(x)>\alpha\}|\leq C_{2}\frac{\|f\|_{% L^{\ Φ}(Q)}}{\alpha} 对于所有可测量的功能F支持于问和 α > 0 {\alpha>0} 。作为这种等价性的结果，我们证明如果 Φ 满足上述条件并且 ℬ {\mathcal{B}} 是对所有可测函数的积分进行微分的同伦不变基F在 ℝ n {\mathbb{R}^{n}} 这样 ∫ ℝ n Φ ⁢ （ | F | ） < 无穷大 {\int_{\mathbb{R}^{n}}\Phi(|f|)<\infty} ，然后关联的最大运算符 中号 ℬ {M_{\mathcal{B}}} 满足上述两个弱类型估计。