Gaussian solitons are important examples in the theory of Riemannian measure space. In the first part, we explicitly characterize the first eigenfunctions of the drift Laplacian in a Gaussian shrinking soliton, which shows that apart from each coordinate function, other first eigenfunctions must involve exponential functions and the so-called error functions. Moreover, the second eigenfunctions are also described. In the second part, we discuss the corresponding issues in Finsler Gaussian shrinking solitons, which is a natural generalization of Gaussian shrinking solitons. For the first eigenfunction, we complement an example to show that if a coordinate function is a first eigenfunction, then the Finsler Gaussian shrinking soliton must be a Euclidean measure space. For the second eigenfunction, we give some necessary and sufficient conditions for these spaces to be Euclidean measure spaces.

中文翻译：

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芬斯勒高斯孤子的本征函数

高斯孤子是黎曼测度空间理论中的重要例子。在第一部分中，我们明确地刻画了高斯收缩孤子中的漂移拉普拉斯算子的第一特征函数，这表明除了每个坐标函数之外，其他第一特征函数必须涉及指数函数和所谓的误差函数。此外，还描述了第二特征函数。在第二部分中，我们讨论芬斯勒高斯收缩孤子中的相应问题，芬斯勒高斯收缩孤子是高斯收缩孤子的自然推广。对于第一特征函数，我们补充一个例子来表明，如果一个坐标函数是第一特征函数，那么芬斯勒高斯收缩孤子一定是欧几里德测度空间。对于第二特征函数，我们给出了这些空间是欧几里得测度空间的一些充要条件。