Algebraically generated groups and their Lie algebras,Journal of the London Mathematical Society

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Algebraically generated groups and their Lie algebras
Journal of the London Mathematical Society ( IF 1.2 ) Pub Date : 2024-02-07 , DOI: 10.1112/jlms.12866
Hanspeter Kraft ₁ , Mikhail Zaidenberg ₂

Affiliation

The automorphism group

Aut (X) $\operatorname{Aut}(X)$

of an affine variety

X $X$

is an ind-group. Its Lie algebra is canonically embedded into the Lie algebra

Vec (X) $\operatorname{Vec}(X)$

of vector fields on

X $X$

. We study the relations between subgroups of

Aut (X) $\operatorname{Aut}(X)$

and Lie subalgebras of

Vec (X) $\operatorname{Vec}(X)$

. We show that a subgroup

G \subseteq Aut (X) $G\subseteq \operatorname{Aut}(X)$

generated by a family of connected algebraic subgroups

G_{i} $G_i$

Aut (X) $\operatorname{Aut}(X)$

is algebraic if and only if the Lie algebras

Lie G_{i} \subseteq Vec (X) $\operatorname{Lie}G_i \subseteq \operatorname{Vec}(X)$

generate a finite-dimensional Lie subalgebra of

Vec (X) $\operatorname{Vec}(X)$

. Extending a result by Cohen–Draisma (Transform. Groups 8 (2003), no. 1, 51–68), we prove that a locally finite Lie algebra

L \subseteq Vec (X) $L \subseteq \operatorname{Vec}(X)$

generated by locally nilpotent vector fields is algebraic, that is,

L = Lie G $L = \operatorname{Lie}G$

for an algebraic subgroup

G \subseteq Aut (X) $G \subseteq \operatorname{Aut}(X)$

. Along the same lines, we prove that if a subgroup

G \subseteq Aut (X) $G \subseteq \operatorname{Aut}(X)$

generated by finitely many connected algebraic groups is solvable, then it is an algebraic group. We also show that a unipotent algebraic subgroup

U \subseteq Aut (X) $U \subseteq \operatorname{Aut}(X)$

has derived length

⩽ dim X $\leqslant \dim X$

. This result is based on the following triangulation theorem: Every unipotent algebraic subgroup of

Aut (A^{n}) $\operatorname{Aut}({\mathbb {A}}^{n})$

with a dense orbit in

A^{n} ${\mathbb {A}}^{n}$

is conjugate to a subgroup of the de Jonquières subgroup. Furthermore, we give an example of a free subgroup

F \subseteq Aut (A^{2}) $F\subseteq \operatorname{Aut}({\mathbb {A}}^{2})$

generated by two algebraic elements such that the Zariski closure

\bar{F} $\overline{F}$

is a free product of two nested commutative closed unipotent ind-subgroups. To any affine ind-group

G $\mathfrak {G}$

, one can associate a canonical ideal

L_{G} \subseteq Lie G $L_\mathfrak {G}\subseteq \operatorname{Lie}\mathfrak {G}$

. It is linearly generated by the tangent spaces

T_{e} X $T_e X$

for all algebraic subsets

X \subseteq G $X \subseteq \mathfrak {G}$

that are smooth in

e $e$

. It has the important property that for a surjective homomorphism

φ : G \to H $\varphi \colon \mathfrak {G}\rightarrow \mathfrak {H}$

, the induced homomorphism

d φ_{e} : L_{G} \to L_{H} $d\varphi _e\colon L_\mathfrak {G}\rightarrow L_\mathfrak {H}$

is surjective as well. Moreover, if

H \subseteq G $\mathfrak {H}\subseteq \mathfrak {G}$

is a subnormal closed ind-subgroup of finite codimension, then

L_{H} $L_\mathfrak {H}$

has finite codimension in

L_{G} $L_\mathfrak {G}$

.

中文翻译：

代数生成群及其李代数

自同构群

奥特 （ X ） $\操作员名称{Aut}(X)$

仿射簇的

X $X$

是一个 ind 基团。它的李代数规范地嵌入到李代数中

向量 （ X ） $\运算符名称{Vec}(X)$

的向量场

X $X$

。我们研究子群之间的关系

奥特 （ X ） $\操作员名称{Aut}(X)$

和李子代数

向量 （ X ） $\运算符名称{Vec}(X)$

。我们证明一个子群

G \subseteq 奥特 （ X ） $G\subseteq \操作符名称{Aut}(X)$

由一系列相连的代数子群生成

G_{我} $G_i$

的

奥特 （ X ） $\操作员名称{Aut}(X)$

是代数当且仅当李代数

说谎 G_{我} \subseteq 向量 （ X ） $\operatorname{Lie}G_i \subseteq \operatorname{Vec}(X)$

生成有限维李子代数

向量 （ X ） $\运算符名称{Vec}(X)$

。扩展Cohen-Draisma的结果（Transform. Groups 8 (2003), no. 1, 51–68），我们证明局部有限李代数

L \subseteq 向量 （ X ） $L \subseteq \运算符名称{Vec}(X)$

由局部幂零向量场生成是代数的，即

L = 说谎 G $L = \operatorname{谎言}G$

对于代数子群

G \subseteq 奥特 （ X ） $G \subseteq \operatorname{Aut}(X)$

。同样，我们证明如果一个子群

G \subseteq 奥特 （ X ） $G \subseteq \operatorname{Aut}(X)$

由有限多个连通代数群生成的方程可解，则它是代数群。我们还证明了单能代数子群

U \subseteq 奥特 （ X ） $U \subseteq \operatorname{Aut}(X)$

已导出长度

⩽ 暗淡 X $\leqslant \dim X$

。该结果基于以下三角剖分定理：

奥特 （ A^{n} ） $\operatorname{Aut}({\mathbb {A}}^{n})$

具有密集轨道

A^{n} ${\mathbb {A}}^{n}$

与 de Jonquières 子群的一个子群共轭。此外，我们还给出了一个自由子群的例子

F \subseteq 奥特 （ A^{2} ） $F\subseteq \operatorname{Aut}({\mathbb {A}}^{2})$

由两个代数元素生成，使得 Zariski 闭包

\overset{￣}{F} $\上划线{F}$

是两个嵌套交换闭合单能 ind 子群的自由积。对于任意仿射 ind 群

G $\mathfrak {G}$

，人们可以联想到一个规范理想

L_{G} \subseteq 说谎 G $L_\mathfrak {G}\subseteq \operatorname{Lie}\mathfrak {G}$

。它是由切空间线性生成的

{时间}_{e} X $T_e X$

对于所有代数子集

X \subseteq G $X \subseteq \mathfrak {G}$

是光滑的

e $e$

。它具有一个重要的性质：对于满射同态

φ ： G \to H $\varphi \冒号 \mathfrak {G}\rightarrow \mathfrak {H}$

，诱导同态

d φ_{e} ： L_{G} \to L_{H} $d\varphi _e\冒号 L_\mathfrak {G}\rightarrow L_\mathfrak {H}$

也是满射的。此外，如果

H \subseteq G $\mathfrak {H}\subseteq \mathfrak {G}$

是有限余维次正规闭 ind 子群，则

L_{H} $L_\mathfrak {H}$

具有有限余维数

L_{G} $L_\mathfrak {G}$

。

更新日期：2024-02-07

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