This study focuses on the integrability and qualitative behaviors of a quadratic differential system

$$\dot{x}=a+yz,\quad\dot{y}=-y + x^{2},\quad\dot{z}=b-4x.$$

We provide some new perspectives on the system and reveal its diverse properties, including non-integrability in the sense of absence of first integrals, bifurcations of co-dimension one or two, Jacobi instability and dynamics at infinity.

中文翻译：

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关于简单二次微分系统中不可积性和动力学的新见解

本研究重点关注二次微分系统的可积性和定性行为

$$\dot{x}=a+yz,\quad\dot{y}=-y + x^{2},\quad\dot{z}=b-4x。$$

我们提供了一些关于该系统的新视角，并揭示了其不同的性质，包括在不存在第一积分的情况下的不可积性、一维或二维的分岔、雅可比不稳定性和无穷大动力学。