The pro-étale fundamental group of a scheme, introduced by Bhatt and Scholze, generalizes formerly known fundamental groups — the usual étale fundamental group ${\pi }_1^{\text{ ét}}$ defined in SGA1 and the more general ${\pi }_1^{\mathrm{SGA3}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->}$. It controls local systems in the pro-étale topology and leads to an interesting class of “geometric coverings” of schemes, generalizing finite étale coverings.

We prove exactness of the fundamental sequence for the pro-étale fundamental group of a geometrically connected scheme $X$ of finite type over a field $k$, i.e., that the sequence

is exact as abstract groups and the map ${\pi }_1^{\text{ proét}}(X_{\overline{k}})\to {\pi }_1^{\text{ proét}}(X)$ is a topological embedding.

On the way, we prove a general van Kampen theorem and the Künneth formula for the pro-étale fundamental group.

Bhatt 和 Scholze 提出的方案的 pro-étale 基本群概括了以前已知的基本群——通常的 étale 基本群${\pi }_1^{\text{ 等}}$SGA1 中定义的以及更通用的${\pi }_1^{\mathrm{SGA3}<!--FUNCTION\; APPLICATION-->}$。它控制 pro-étale 拓扑中的局部系统，并导致一类有趣的“几何覆盖”方案，概括了有限的 étale 覆盖。

我们证明了几何连通方案的 pro-étale 基本群的基本序列的正确性$X$域上的有限类型$k$，即序列

与抽象组和地图一样精确${\pi }_1^{\text{ 普罗埃特}}（X_{\stackrel{￣}{k}}）\to {\pi }_1^{\text{ 普罗埃特}}（X）$是一个拓扑嵌入。

在此过程中，我们证明了 pro-étale 基本群的一般 van Kampen 定理和 Künneth 公式。