In this paper we will establish a new Pólya–Szegö type inequality for a weighted gradient of a function on \({\mathbb {R}}^2\) with respect to a weighted area. In order to do that we need to study an isoperimetric problem for the weighted area. We then apply the inequality to prove embedding theorems for weighted Sobolev spaces and to calculate the best constant in the Sobolev imbedding theorems. In our upcoming manuscript the obtained results in this note will be used to study boundary value problems for semilinear degenerate elliptic equations, see Luyen et al. (arXiv:2303.14661).

中文翻译：

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加权 Sobolev 空间的 Pólya-Szegö 型不等式和嵌入定理

在本文中，我们将为\({\mathbb {R}}^2\)上函数相对于加权面积的加权梯度建立一个新的 Pólya-Szegö 型不等式。为了做到这一点，我们需要研究加权区域的等周问题。然后，我们应用这个不等式来证明加权 Sobolev 空间的嵌入定理，并计算 Sobolev 嵌入定理中的最佳常数。在我们即将发表的手稿中，本文中获得的结果将用于研究半线性简并椭圆方程的边值问题，请参阅 Luyen 等人。（arXiv：2303.14661）。