Recently, Ludewig and Thiang introduced a notion of a uniformly localized Wannier basis with localization centers in an arbitrary uniformly discrete subset D in a complete Riemannian manifold X. They show that, under certain geometric conditions on X, the class of the orthogonal projection onto the span of such a Wannier basis in the K-theory of the Roe algebra C*(X) is trivial. In this paper, we clarify the geometric conditions on X, which guarantee triviality of the K-theory class of any Wannier projection. We show that this property is equivalent to triviality of the unit of the uniform Roe algebra of D in the K-theory of its Roe algebra, and provide a geometric criterion for that. As a consequence, we prove triviality of the K-theory class of any Wannier projection on a connected proper measure space X of bounded geometry with a uniformly discrete set of localization centers.

中文翻译：

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非周期性万尼尔基存在的拓扑障碍

最近，Ludewig 和 Thiang 引入了均匀局域 Wannier 基的概念，其局域中心位于完全黎曼流形 X 中的任意均匀离散子集 D 中。他们表明，在 X 上的某些几何条件下，正交投影到Roe 代数 C*(X) 的 K 理论中的这种 Wannier 基的跨度是微不足道的。在本文中，我们阐明了 X 上的几何条件，保证了任何 Wannier 投影的 K 理论类的平凡性。我们证明这个性质等价于 D 的一致 Roe 代数的单位在其 Roe 代数的 K 理论中的平凡性，并为此提供了一个几何准则。因此，我们证明了在具有均匀离散定位中心集的有界几何的连通真测度空间 X 上的任何 Wannier 投影的 K 理论类的平凡性。