We construct the well-known decomposition of the Lie algebra e8 into representations of e6⊕su(3) using explicit matrix representations over pairs of division algebras. The minimal representation of e6, namely the Albert algebra, is thus realized explicitly within e8, with the action given by the matrix commutator in e8, and with a natural parameterization using division algebras. Each resulting copy of the Albert algebra consists of anti-Hermitian matrices in e8, labeled by imaginary (split) octonions. Our formalism naturally extends from the Lie algebra to the Lie group E6 ⊂ E8.

中文翻译：

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E8的新除法代数表示

我们使用除代数对上的显式矩阵表示，将众所周知的李代数 e8 分解为 e6⊕su(3) 的表示。因此，e6 的最小表示（即阿尔伯特代数）在 e8 中明确实现，其作用由 e8 中的矩阵换向器给出，并使用除代数进行自然参数化。每个生成的阿尔伯特代数副本都由 e8 中的反埃尔米特矩阵组成，由虚数（分裂）八元数标记。我们的形式主义自然地从李代数延伸到李群 E6 ⊂ E8。