We decompose the Lie algebra e8(−24) into representations of e7(−25)⊕sl(2,R) using our recent description of e8 in terms of (generalized) 3 × 3 matrices over pairs of division algebras. Freudenthal’s description of both e7 and its minimal representation are therefore realized explicitly within e8, with the action given by the (generalized) matrix commutator in e8, and with a natural parameterization using division algebras. Along the way, we show how to implement standard operations on the Albert algebra such as trace of the Jordan product, the Freudenthal product, and the determinant, all using commutators in e8.

中文翻译：

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E8 中 E7 的新除法代数表示

我们使用最近对除代数对上的（广义）3 × 3 矩阵的 e8 描述，将李代数 e8(−24) 分解为 e7(−25)⊕sl(2,R) 的表示。因此，Freudenthal 对 e7 及其最小表示的描述在 e8 中明确实现，其中由 e8 中的（广义）矩阵换向器给出的动作以及使用除代数的自然参数化。在此过程中，我们展示了如何在 Albert 代数上实现标准运算，例如 Jordan 积、Freudenthal 积和行列式的迹，所有这些都使用 e8 中的换向器。