For a natural number $n$, let $Z_1(n):={\sum }_{\rho }\frac{n^{\rho }}{\rho }$ where the sum runs over the nontrivial zeros of the Riemann zeta function. For a primitive Dirichlet character $\chi$ modulo $q\ge 3$, we define $Z_1(s,\chi ):={\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{\chi (n)Z_1(n)}{n^s}$ for $\Re (s)>2$ and obtain the meromorphic continuation of the function $Z_1(s,\chi )$ to the region $\Re (s)>\frac{1}{2}$. Our main result indicates that the poles of $Z_1(s,\chi )$ in the region $\frac{1}{2}<\Re (s)<1$, if they exist, are related to the zeros of many Dirichlet $L$-functions in the same region.

中文翻译：

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与素数定理中的误差项相关的狄利克雷级数

对于自然数$n$， 让$Z_1（n）：={\Sigma }_{\rho }\frac{n^{\rho }}{\rho }$其中总和经过黎曼 zeta 函数的非平凡零点。对于原始狄利克雷特征$\chi$模数$q\ge 3$，我们定义$Z_1（s,\chi ）：={\Sigma }_{n=1}^{\mathrm{无穷大}}\frac{\chi （n）Z_1（n）}{n^s}$为了$\Re （s）>2$并获得函数的亚纯延拓$Z_1（s,\chi ）$到该地区$\Re （s）>\frac{1}{2}$。我们的主要结果表明，极点$Z_1（s,\chi ）$在该区域$\frac{1}{2}<\Re （s）<1$，如果存在，则与许多狄利克雷的零点相关$L$- 在同一地区发挥作用。