Let f be a polynomial with coefficients in the ring O S {O_{S}} of S-integers of a number field K, b a non-zero S-integer, and m an integer ≥ 2 {\geq 2} . We consider the following equation ( ⋆ ) {(\star)} : f ⁢ ( x ) = b ⁢ y m {f(x)=by^{m}} in x , y ∈ O S {x,y\in O_{S}} . Under the well-known LeVeque condition, we give fully explicit upper bounds in terms of K , S , f , m {K,S,f,m} and the S-norm of b for the heights of the solutions x of equation ( ⋆ ) {(\star)} . Further, we give an explicit bound C in terms of K , S , f {K,S,f} and the S-norm of b such that if m > C {m>C} equation ( ⋆ ) {(\star)} has only solutions with y = 0 {y=0} or a root of unity. Our results are more detailed versions of work of Trelina, Brindza, Shorey and Tijdeman, Voutier and Bugeaud, and extend earlier results of Bérczes, Evertse, and Győry to polynomials with multiple roots. In contrast with the previous results, our bounds depend on the S-norm of b instead of its height.

中文翻译：

---

数域上超椭圆方程解的显式界限

让F是系数在环中的多项式 氧 S {O_{S}} 的S-数字字段的整数K,乙非零S-整数，并且米一个整数 ≥ 2 {\geq 2} 。我们考虑以下等式 （ ⋆ ） {（\星星）} ： F ⁢ （ X ） = 乙 ⁢ y 米 {f(x)=by^{m}} 在 X , y ε 氧 S {x,y\in O_{S}} 。在众所周知的 LeVeque 条件下，我们给出了完全明确的上限 K , S , F , 米 {K,S,f,m} 和S-范数乙解的高度X方程的 （ ⋆ ） {（\星星）} 。此外，我们给出一个明确的界限C按照 K , S , F {K,S,f} 和S-范数乙这样如果 米 > C {m>C} 方程 （ ⋆ ） {（\星星）} 仅有解决方案 y = 0 {y=0} 或统一之根。我们的结果是 Trelina、Brindza、Shorey 和 Tijdeman、Voutier 和 Bugeaud 工作的更详细版本，并将 Bérczes、Evertse 和 Győry 的早期结果扩展到具有多个根的多项式。与之前的结果相比，我们的界限取决于S-范数乙而不是它的高度。