Abstract

Many Boolean functions that need to be encoded as CNF in practice, have only exponential size CNF representations. To avoid this effect, one usually introduces nondeterministic variables. For example, whereas the minimum number of clauses in a CNF computing the parity function \(x_1\oplus x_2 \oplus \cdots \oplus x_n\) is  \(2^{n-1}\) , one can use \(n-1\) nondeterministic variables to get a CNF encoding with 4n clauses. In this paper, we prove tradeoffs between various parameters (the number of clauses, the width of clauses, and the number of nondeterministic variables) of CNF encodings of various symmetric functions. In particular, we show that a folklore way of encoding parity as CNF is provably optimal. We do this by using a tight connection between CNF encodings and depth-3 circuits. This connection shows that CNF encodings is an interesting computational model for Boolean functions: on the one hand, it is routinely used in practice when translating a computational problem to a format acceptable by a SAT solver, on the other hand, lower bounds on the size of CNF encodings imply depth-3 circuit lower bounds.

中文翻译：

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对称函数的 CNF 编码

摘要

在实践中，许多需要编码为 CNF 的布尔函数只有指数大小的 CNF 表示。为了避免这种影响，通常引入非确定性变量。例如，虽然 CNF 中计算奇偶校验函数\(x_1\oplus x_2 \oplus \cdots \oplus x_n\)的最小子句数为 \(2^{n-1}\)，但可以使用\(n -1\)不确定变量以获得具有 4 n个子句的CNF 编码 。在本文中，我们证明了各种对称函数的 CNF 编码的各种参数（子句数量、子句宽度和非确定性变量数量）之间的权衡。特别是，我们证明了将奇偶校验编码为 CNF 的民间传说方式是最佳的。我们通过使用 CNF 编码和深度 3 电路之间的紧密连接来实现这一点。这种联系表明，CNF 编码是布尔函数的一种有趣的计算模型：一方面，在将计算问题转换为 SAT 求解器可接受的格式时，它在实践中经常使用，另一方面，它是大小的下限CNF 编码意味着深度 3 电路下界。