In this paper, we first define the vector product in Minkowski space $\mathbb{R}_{4}^{7}$, which is identified with the space of spatial split-octonions. Next, we derive the $G_{2}-$ frame formulae for a seven dimensional Minkowski curve by using the spatial split-octonions and the vector product. We show that Frenet–Serret formulas are satisfied for a spatial split octonionic curve. We obtain the congruence of two spatial split octonionic curves and give relationship between the $G_{2}-$ frame and Frenet–Serret frame. Furthermore, we present the Frenet–Serret frame with split octonions in $\mathbb{R}_{4}^{8}$. Finally, we give illustrative examples with Matlab codes.

中文翻译：

---

在分裂八角曲线上

在本文中，我们首先定义 Minkowski 空间 $\mathbb{R}_{4}^{7}$ 中的向量积，该向量积用空间分裂八元数空间来标识。接下来，我们使用空间分割八元数和向量积推导七维 Minkowski 曲线的 $G_{2}-$ 框架公式。我们证明了空间分裂八元曲线满足 Frenet-Serret 公式。我们获得了两条空间分裂八元曲线的全等，并给出了 $G_{2}-$ 坐标系和 Frenet-Serret 坐标系之间的关系。此外，我们在 $\mathbb{R}_{4}^{8}$ 中提出了带有分割八元数的 Frenet-Serret 框架。最后，我们给出了带有 Matlab 代码的说明性示例。