SIAM Journal on Discrete Mathematics, Volume 38, Issue 2, Page 1239-1249, June 2024.
Abstract. Given a graph [math], we say that an edge-colored graph [math] is [math]-rainbow saturated if it does not contain a rainbow copy of [math], but the addition of any nonedge in any color creates a rainbow copy of [math]. The rainbow saturation number [math] is the minimum number of edges among all [math]-rainbow saturated edge-colored graphs on [math] vertices. We prove that for any nonempty graph [math], the rainbow saturation number is linear in [math], thus proving a conjecture of Girão, Lewis, and Popielarz. In addition, we give an improved upper bound on the rainbow saturation number of the complete graph, disproving a second conjecture of Girão, Lewis, and Popielarz.

中文翻译：

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彩虹饱和度数是线性的

SIAM 离散数学杂志，第 38 卷，第 2 期，第 1239-1249 页，2024 年 6 月
。摘要。给定一个图 [math]，如果它不包含 [math] 的彩虹副本，则我们说边彩色图 [math] 是 [math]-彩虹饱和的，但是添加任何颜色的任何非边都会创建彩虹[数学]的副本。彩虹饱和数 [math] 是 [math] 顶点上的所有 [math]-彩虹饱和边彩色图中边的最小数量。我们证明，对于任何非空图 [数学]，彩虹饱和数在 [数学] 中是线性的，从而证明了 Girão、Lewis 和 Popielarz 的猜想。此外，我们给出了完整图的彩虹饱和数的改进上限，反驳了 Girão、Lewis 和 Popielarz 的第二个猜想。