In this paper, we study some blow-up conditions via one velocity component for the 3D incompressible Navier–Stokes equations in the framework of scaling invariant anisotropic Besov spaces. In particular, we prove that if one component of the velocity remains small enough in the space \(\dot{H}^{\frac{1}{2}}\), then there is no blow-up. This result improves the previous ones by Chemin et al. (Commun Partial Differ Equ 44:1387-1405, 2019) and Houamed (J Differ Equ 275:116–138, 2021).

中文翻译：

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关于 3D 纳维-斯托克斯方程单速度分量可能的爆炸条件的评论

在本文中，我们在标度不变各向异性贝索夫空间的框架中通过 3D 不可压缩纳维-斯托克斯方程的一个速度分量研究一些爆炸条件。特别是，我们证明，如果速度的一个分量在空间\(\dot{H}^{\frac{1}{2}}\)中保持足够小，则不会发生爆炸。这一结果改进了 Chemin 等人之前的结果。 (Commun Partial Differ Equ 44:1387-1405, 2019) 和 Houamed (J Differ Equ 275:116–138, 2021)。