Let $f\,:\,X\,\longrightarrow \,Y$ be a generically smooth morphism between irreducible smooth projective curves over an algebraically closed field of arbitrary characteristic. We prove that the vector bundle $((f_*{\mathcal O}_X)/{\mathcal O}_Y)^*$ is virtually globally generated. Moreover, $((f_*{\mathcal O}_X)/{\mathcal O}_Y)^*$ is ample if and only if f is genuinely ramified.

中文翻译：

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结构束和虚拟全局生成的推进

让 $f\,:\,X\,\longrightarrow \,Y$ 是任意特征的代数闭域上的不可约平滑射影曲线之间的一般平滑态射。我们证明向量丛 $((f_*{\mathcal O}_X)/{\mathcal O}_Y)^*$ 实际上是全球生成的。而且， $((f_*{\mathcal O}_X)/{\mathcal O}_Y)^*$ 是充足的当且仅当F是真正的分支。