Generalized directional Lelong number of a positive plurisubharmonic current

Moncef Toujani

doi:10.1016/j.crma.2019.07.009

Complex analysis

Generalized directional Lelong number of a positive plurisubharmonic current
[Nombre de Lelong directionnel généralisé d'un courant positif pluri-sous-harmonique]

Présenté par : the Editorial Board

Moncef Toujani ^1,²

¹ Umm Al-Qura University, Saudi Arabia
² Higher Institute of Applied Science and Technology, Mateur, Tunisia

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 357 (2019) no. 10, pp. 773-777.

Résumé
Abstract

Soit T un courant positif pluri-sous-harmonique $(p s h)$ de bidegré $(k, k)$ dans un voisinage Ω de 0 dans $C^{N} = C^{n} \times C^{m}$ ( $n = N - m ⩾ k$ ), et B un borélien de $L : = {0} \times C^{m}$ tel que $B ⋐ Ω$ . Étant donné $(z, t)$ dans $C^{n} \times C^{m}$ , on définit une fonction de classe $C^{2}$ positive psh et semi-exhaustive sur Ω, $(z, t) \mapsto φ (z)$ , telle que $\log φ$ soit aussi psh sur l'ouvert ${φ > 0}$ , et on considère une fonction $(z, t) \mapsto v (t)$ psh continue et semi-exhaustive sur Ω. Dans cette note, on prouve que T admet un nombre de Lelong directionnel généralisé relativement à φ et v le long de L ; de plus, on prouve un théorème sur l'existence d'une fonction f psh positive sur L telle que le nombre de Lelong de T soit donné par f. Ce théorème généralise des résultats étudiés par Alessandrini–Bassanelli et Toujani.

Let T be a positive plurisubharmonic (psh for short) current of bidegree $(k, k)$ on a neighborhood Ω of 0 in $C^{N} = C^{n} \times C^{m}$ ( $n = N - m ⩾ k$ ), B be a Borel subset of $L : = {0} \times C^{m}$ such that $B ⋐ Ω$ . Taking $(z, t) \in C^{n} \times C^{m}$ , we define a $C^{2}$ positive semi-exhaustive psh function on Ω, $(z, t) \mapsto φ (z)$ , such that $\log φ$ is also psh on the open set ${φ > 0}$ and consider $(z, t) \mapsto v (t)$ a continuous semi-exhaustive psh function on Ω. This paper aims to prove that T admits a generalized directional Lelong number along L with respect to the functions φ and v. Moreover, we give a theorem on the existence of a positive psh function f on L, such that the Lelong number of T is given by f. This theorem generalizes results studied by Alessandrini–Bassanelli and Toujani.

Reçu le : 2019-05-05
Accepté le : 2019-08-01
Publié le : 2019-09-30

DOI : 10.1016/j.crma.2019.07.009

Affiliations des auteurs :

Moncef Toujani ^{1, 2}

¹ Umm Al-Qura University, Saudi Arabia
² Higher Institute of Applied Science and Technology, Mateur, Tunisia

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Moncef Toujani. Generalized directional Lelong number of a positive plurisubharmonic current. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 357 (2019) no. 10, pp. 773-777. doi : 10.1016/j.crma.2019.07.009. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2019.07.009/

Bibliographie
Cité par

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